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有限元基本理论及工程应用 大作业 姓名 学号 题目 电话 2013年5月15日 一、对一维有限元问题：(1) 推导出三点二次单元的形函数，给出相应的图形，并与两点线性单元进行比较；(2) 若用三点二次单元对图示一端固定，弹性模量为E，截面面积为A的直杆轴向拉压问题进行有限元分析，试给出总体有限元方程；(3) 给出左端点的位移。 端部受压杆件示意图 解： (1) 三点二次单元形函数的推导：利用拉格朗日差值函数构造型函数 图1-1 所选坐标系和结点位置示意图 如图所示选取的坐标系和节点位置，单元节点参数取,,，构造单元内的位移插值函数 (1.1) 其中形函数要求在本节点上取值为1，在其他节点上取值为0。通过分析两节点一次单元的形函数分子、分母的形式，可知其满足Lagrange插值基本形式： 其中， 下面将的节点坐标带入上式可得如下简单形式 取i、j、k三节点的坐标分别为0、0.5、1，则利用matlab绘出的形函数图形如图1-2,1-3所示。 ? 下面对比两点一次单元与三点二次单元的形函数图线，采用Matlab绘图。 图1-2 两节点一次单元形函数示意图 图1-3 三节点二次单元形函数示意图 (2) 为求问题中自由端的位移，若采用有限元法，则需先划分单元，然后进行单元分析。若采用三节点二次单元，需要对其进行单元分析以获得单元刚度矩阵。下面先对单元分析的过程做系统性描述。 单元内位移场 单元的应变 单元的变形能 故得到单元刚度矩阵 下面采用三种不同的单元划分方法求解此问题。 ? 方法一，一个单元，不等长度 节点坐标 带入形函数表达式有 求导得几何矩阵 积分得单元刚度矩阵 对于此问题，，于是将边界条件带入总体平衡方程中有 解此线性方程组，结果为 ? 方法二，两个单元，不等长度 节点坐标 同样的方法，可得单元1、2的单元刚度矩阵 ， 组装并获得总体刚度矩阵 于是将边界条件带入总体平衡方程中有 解此线性方程组，结果 ? 方法三，两个单元，等长度 节点坐标 类似的方法，可得1、2单元刚度矩阵 组装并获得总体刚度矩阵 于是将边界条件带入总体平衡方程中有 解线性方程组，结果 (3) 结果分析与比较 首先，采用材料力学方法计算受压杆件的位移场。杆件轴向变形量 下面做出杆件的轴力图，以确定。 图1-4 受压杆件的轴力图与变形图 由图1-4可知，杆件内为线性位移场。但本题的求解过程中选择了三点二次单元，它将描述一个二次位移场。这与物理实际产生较大差异。除非二次项系数为零，位移场从二次退化成线性。 下面，比较三种单元划分方法求得的二次位移场与线性位移场的差异。通过 图1-5 三种单元划分方法所求杆件位移场的比较 比较可以发现：方法二计算出的位移场完全正确，这是因为两个二次单元均退化成线性位移场；方法三单元1的位移场符合实际，而单元2位移场仍是二次的，与正确结果仍有差异；方法一采用一个二次单元描述线性位移场，所求结果与真实结果误差较大。 综上可以发现，二次单元较一次单元而言，单元的信息量增大了，单元的精度增高，适用范围扩大。但使用场合不当，不但发挥不了二次单元的优势，相反可能会使所求结果与真实结果相违背。如此的话，采用二次单元徒增了计算量又没有获得正确结果，实属得不偿失。 二，热传导问题的有限元分析。 (1) 推导对应二维热传导的“能量泛函”; (2) 用四节点线性形函数表示该“能量泛函”并写出其对应的一般的矩阵形式。 解： (1) 热传导分析的傅里叶方程,表明s方向上的热流正比于温度梯度，并反向流动。以图2-1的二维情形为例进行分析，考虑热正交各向异性的材料。 或 这里与是材料主方向上的热传导系数。 图2-1 带有主方向r,s的层状材料 在方向上的温度梯度,可以通过链式微分与,联系起来： 带有主方向,的层状材料 其中 热流是矢量，与位移以同一种方式进行变换，即 根据上述表达式可以推出 其中 由于温度是标量，无需进行坐标转换。 图2-2 通过平面微元边的热流 对于单位厚度的物体而言，热量产生率在一个微元上是。如图所示，假设平行于xy的面是绝热的。那么，单位厚度的净热流量是： 或 内部的热流是存储能增加，即。所以有。合并上述各式可以得到 如果为各向同性且均匀介质，则和 , 上式可以化简为 二维热传导的控制方程为： 为方便起见，此处近推导仅存在热传导的单元，其温度泛函为： (2) 用四节点线性单元形函数表示该“能量泛函”时，首先用矩阵形式表示温度为： 其中形函数是x和y的线性函数。现在定义一个算子矩阵： 故可得出几何矩阵如下： 另定义一个热传导矩阵： 则最终的“能量”泛函可表示为如下矩阵形式：  3、使用四节点四边形单元的形函数推导热传导问题的单元刚度矩阵。 解：1）写出平面热传导问题的温度泛函