有限元理论与方法第3讲.docVIP

讲 授 内 容 备 注 第3讲(第3周) 3.节点平衡方程与整体刚度矩阵 从一个桁架中取一节点i，如图14a所示，设环绕该点有三个单元，即ij、im、ip。该节点承受的水平和垂直荷载分别为Xi和Yi，即节点i的荷载Pi=[Xi Yi]T。 a b 图14 节点i的平衡 根据力的平衡，作用于杆单元的节点力与作用于节点的节点力，其大小相等，方向相反。以杆ij为例，作用于杆单元的节点力是[Uij Vij]T，而作用于节点i的节点力是[-Uij -Vij]T。将节点脱离出来，受力分析如图1-4b所示，在水平和垂直方向的节点受力平衡方程为 （115） 由式（114）知道杆单元ij在节点i的节点力为 （116） 其它单元施于节点i的节点力同样可以写出，一起代入式（115），得到 （117） 每个节点都有一对平衡方程如上，对于全部节点i=1,2,…,N的结构，得到2N阶线性方程组，即结构的节点平衡方程组 （118） 其中 式中，δ为全部节点位移组成的列阵；P为全部节点荷载组成的列阵；K为结构的整体刚度矩阵。总体刚度矩阵的合成 由单元刚度矩阵合成结构的整体刚度矩阵通常采用两种方法，一种为编码法，一种为大域变换矩阵法，前者对自由度较少的结构简单明了，后者特别适合计算机编程运算。下面重点阐述后者。 结构总体刚度矩阵[K]与单元刚度矩阵[K]e之间的关系为 （119） 其中 Ge为单元大域变换矩阵，对平面桁架结构，单元自由度m=4，节点自由度为h=2，整个结构有n个节点，则该单元大域变换矩阵为m×（hn）维。其中ij单元大域变换矩阵为 （120） 另外，总体结构的荷载向量、位移向量与单元荷载向量、位移向量之间的关系为 （121） （122） 边界条件的处理 图15 桁架 边界条件指结构边界上所受到的外加约束。边界上的节点通常有两种情况。一种可以自由变形，如图15中的节点5、6、7、8等，这时只要让这些节点上的荷载等于零就可以了。如果节点3作用着外荷载，可令该点的荷载等于规定的荷载Q。另一种是边界上的节点，规定了节点位移的数值，如图15所示桁架，有 u1=v1=v4=0，v2=b 这时，是否可以把规定的位移数值直接放到平衡方程Kδ=P中去呢?当采用迭代法求解时，是可以这样做的。如果采用直接法求解时，就不能这样做了，因为直接法是以全部节点位移都是未知量为基础的。 现在把结构平衡方程组重新排列如下 式中，δb是已知的节点位移，δa是未知的节点位移。相应地，Pa 是已知的节点荷载，而Pb是未知的支点反力。只要已给出的位移δb足以阻止结构的刚体移动，则子矩阵Kaa将是非奇异的，可以解出未知的节点位移 δa=Kaa-1（Pa－Kabδb） 进而求出未知支点反力如下 Pb=（Kbb－KabTKaa-1Kab）δb +KabTKaa-1Pa 上面我们说明了求解平衡方程组的步骤，但在有限单元法中，未知量的个数通常有几百个，甚至几万个，一般都利用电子计算机求解。给定位移的节点和给定荷载的节点实际上是交错出现的。通常为了程序设计的方便，刚度矩阵[K]的行序和列序都不改变，而作下述处理。 设设结构的平衡方程为 （123） 对u1=0上式作如下变化，在刚度矩阵[K]中，把与u1对应的对角线上的刚度系数是k1,1换为一个极大的数，例如可换成k1,1×108；把与u1对应的节点荷载换成k1,1×108×u1=0，其余保留不变。对其它边界条件可以类推。 通过上述变化，式（123）中节点位移列阵成为未知量，荷载列阵成为已知向量，两端左乘刚度矩阵的逆阵可以求出节点位移，进而得到节点力和单元内力。上述以位移作为未知量求解并表示出节点力和单元内力的方法，称为“位移法”，相应的有限单元法为“位移法有限元”。以单元内力为未知量的有限元方法称为“力法有限元”，工程中采用不多。桁架结构的平衡方程如图16所示桁架结构，支承条件为：u1=v1=u4=v4=0，u3=b。该桁架共有6个杆单元，各单元的尺寸和倾角如表11所示。试列出该桁架结构的平衡方程。 表11 单元结构尺寸 杆单元 i点 j点 面积 长度 弹性模量 倾角θ（o） α=cosθ β=sinθ α2 β2 αβ 12 1 2 A l E 90 0 1 0