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待定系数法在中学数学解题中的应用（小二黑体） 苏奕婷（小三楷体） 【摘要】 待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。文章简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系数法在分解因式、求数列通项公式中、解方程、求函数解析式以及几何证明中的应用。（四号宋体） 【关键词】 待定系数法 多项式恒等 应用（四号宋体） 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 待定系数法是中学数学中的一种常用的解题方法，它在中学数学中起着至关重要的作用，其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，因此，认真学好并掌握待定系数法将大有裨益。下面就待定系数法在中学数学解题中的应用进行论述。 一、对“待定系数法”的概述（小三黑体） 1．待定系数法的概念及其理论依据（四号黑体） 待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件来确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（小四宋体） 2．待定系数法的解题步骤（四号黑体） 利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题，是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如：分解因式x2-2xy+y2+2x-2y-3。先看多项式中的二次项x2-2xy+y2，可以分解成（x-y）(x-y)，则：若多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x-y+m）(x-y+n)的形式，其中m，n为待定系数，根据两个多项式恒等，它们的对应项的系数就对应相等，求出m和n的值，多项式便能分解。（小四宋体） 所以，使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为： （1）确定所求问题含待定系数的解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 二、待定系数法在解题中的应用（小三黑体） 待定系数法在解题中的应用非常广泛，在使用待定系数法时，要注意所设的形式是否正确或适合题意，还要注意设系数时，待定的系数要尽量少，以简化计算。 1．在分解因式中的应用（四号黑体） 因式分解是中学数学的一个重要的恒等变形问题。一般分解因式的方法有提取公因式、应用公式法、十字相乘法等等，但遇到一些复杂的多项式，如：没有公因式的多项式或提出公因式后所得的多项式，不能用一般方法分解时，这时，尝试用待定系数法，问题就简单了。 例1：分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4 解：由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y) 故可设3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab 比较两边系数，得 a+3b=1 (1) 2a-b=9 (2) ab=-4 (3) 由（1），（2）联立得a=4，b=-1，代入（3）式适合。 所以，原式=(3x-y+4)(x+2y-1) 　在分解复杂的多项式时，主要是根据两多项式f(x)g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这个结论将因式分解的问题转化为解方程组，即求待定系数的问题来解决。 2．在求数列通项公式中的应用（四号黑体） 数列问题的解决过程是问题的不断变换和数学思想方法灵活运用的过程，求数列通项公式的方法灵活多样，对于特殊数列（等差或等比），可直接设出其通项公式，根据已知条件，运用待定系数法，问题就变得简单了。 例2：已知数列{an}的通项an=n(n+1)2，是否存在等差数列{bn},使an=1b1+2b2+3b3+…+nbn对一切自然数n都成立，并说明理由。 分析：题目给出的条件是等式，等差数列{bn}具