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泛函技术在电磁场研究中的其他应用小时
电磁场中的泛函技术 Outline 静电场中的无限大导体板电荷分布 使旋转体的表面积最小的曲线 有限元区域分解法 研究进展 问题：在一个无穷大导体板的一 侧有一个点电荷q，那么导体板上的感应电荷如何分布？ (导体板接地。） 问题的解决： 导体板上感应电荷的分布应使整个空间静电场的能量最小。假设板空间内的一点M的电势为U(M)。记板所在平面为S，点电荷位于点P,过P作平面的垂线，垂足为O.以O为原点，OP为z轴建立坐标系。 则电场强度， 整个空间能量为 可化为， W取最小值的条件为， 即 另一方面， 其中 2. 使旋转面的面积为最小曲线 3. 电容问题 4 * * 1.静电场中的无限大导体板电荷分布 设通过两点(a,A),(b,B) 的曲线用y=y(x)表示，将此曲线绕x轴旋转得一旋转曲面. 问如何选取曲线y=y(x)方能？ 解：解决这个问题需要用到变分法. 一般说，变分法就是求下述形式的定积分（设y=y(x)） 的极值问题，式(1)这种函数叫做泛函. 象函数的微分理论中的极值问题一样，泛函理论中也有极值问题. 变分法研究的对象就是求泛函的极值. 在一定的条件下，可以证明：使(1)式取得极值时的函数y=y(x)必须满足（证明从略）： 方程(2)称为变分法中的Euler方程. 由熟知的旋转面的面积公式 来求使I 最小的曲线y=y(x). 待求函数为 满足 式中的F不显含x时，即F=F(y,y’), 这时(2)式两端同乘以-y’，则得 最终，满足Euler方程 函数满足 分离变量法得到 电磁场问题中不少具有明确物理意义的工程参量可以表示为未知场函数的泛函，例如分立导体A与B之间的电容量 C是导体表面电荷函数σ(r)或导体之间电位函数φ( ?)的泛函
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