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知识点典型例题平面向量（一） 一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如等. ⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=. 注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为. 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 ①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1,y1),=(x1,y2) 则=(x1+x2,y1+y2) =（x2-x1,y2-y1） += 实数与向量的乘积 =λ λ∈R 记=(x,y) 则λ=(λx,λy) 两个向量的数量积 记 则·=x1x2+y1y2 (二)运算律 加法：①(交换律); ②(结合律) 实数与向量的乘积：①; ②;③ 两个向量的数量积: ①·=·; ②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+· 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(±)2=. 三．例题分析 例1. 如图，四边形ABCD为矩形，且BE＝AB．写出图中， (1)与向量共线的向量；(2)与向量相等的向量；(3)与向量模相等的向量． 例2. 化简(1)________． (2)________ 例3. 在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且，，，试用a、b、c表示向量、、和． 例4. 化简：(1)________． (2)________． 例5. 设OADB是平行四边形，其对角线相交于C点，，，试求向量与向量、的关系． 例6. 设a、b是不共线的两个向量，已知，，，若A、B、D三点共线，求k的值． 例7. 在平行四边形ABCD中，点N在BD上，，M为AB中点，求证：M、N、C三点共线． 课后练习 一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简等于( ) A．0 B．2 C． D． 2．已知四边形ABCD是菱形，有下列四个等式：①②③④，其中正确等式的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( ) A． B． C． D． 4．已知向量a、b，且，，，则一定共线的三点是( ) A．M、N、Q B．M、N、R C．N、Q、R D．M、Q、R 5．下列各题中，向量a与b共线的是( ) A．a＝e1＋e2，b＝e1－e2 B．， C．a＝e1，b＝－e2 D．， 二、填空题 6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________. 7．化简________. 8．已知数轴上三点A、B、C，其中A、B的坐标分别为－3、6，且｜｜＝2，则｜｜＝________，数轴上点C的坐标为________． 9．已知2a＋b＝3c，3a－b＝2c，则a与b的关系是________． 三、解答题 10．已知向量a、b，求作a＋b，a－b． (1) (2) (3) (4) 11．如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知＝a，＝b．试用a、b表示、和． 12．已知梯形ABCD中，AB∥DC，设E和F