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* §3.2 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 定义: 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 应用广泛. 对调两行或两列; 以非零数k乘某行或某列; 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去. 对调两行或两列 对调E中第i, j两行, 即ri?rj, 得初等矩阵: 第i 行 第j 行 第i 行 第j 行 用m阶初等矩阵Em(i, j)左乘A=(aij)m?n, 得 相当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j 行对调(ri?rj). 第i 列 第j 列 用n阶初等矩阵En(i, j)右乘A=(aij)m?n, 得 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的第i 列与第j 列对调(ci?cj). 以非零数k乘某行或某列 以数k?0乘单位矩阵的第i 行得初等矩阵E(i (k)). 第i 行 第i 行 以Em(i (k))左乘矩阵A=(aij)m?n, 得 相当于以数k乘A的第i 行(ri?k). 类似地, 以En(i (k))右乘矩阵A=(aij)m?n, 其结果相当于以数k乘A的第i 列(ci?k). 以数k ?0乘某行(列)加到另一行(列)上去 第i 行 第j 行 以k乘E的第j 行加到第i 行上(ri+krj), 或以k乘E的第i 列加到第j 列上(cj+kci). 以Em(ij(k))左乘矩阵A=(aij)m?n, 相当于把A的第j 行乘数k加到A的第i 行上(ri+krj). 第i 行 第j 行 类似地, 以En(ji(k))右乘矩阵A=(aij)m?n, 其结果相当于把A的第j 列乘数k加到A的第i 列上(ci+kcj). 第i 列 第j 列 二、初等矩阵的应用 定理1: 设A是一个m?n矩阵, 对A施行一次初等行变换, 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换, 相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 变换 ri?rj 的逆变换是其本身, 则 变换 ri?k 的逆变换是 ri?(1/k), 则 E(i, j)-1 = E(i, j). E(i(k))-1 = E(i(1/k)). 变换 ri+krj 的逆变换是 ri+(–k)rj , 则 E(ij(k))-1 = E(ij(–k)). 定理2: 方阵A为可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2,···, Pl , 使A=P1P2 ··· Pl . 证: 充分性. 由于A = P1P2···Pl , 且初等矩阵P1, P2, ···, Pl 为可逆的, 有限个可逆矩阵的乘积仍是可逆的, 故方阵A可逆. 在有限个初等矩阵P1, P2, ···, Pl 使 P1P2···Ps F Ps+1···Pl =A. 必要性.设矩阵A为可逆的, 且A的标准形为F, 则存 由于A可逆, 且P1, P2, ···, Pl 也可逆, 故A的标准形F 也必 可逆, 设 假若 r n, 则| F | = 0, 这与F 可逆矛盾. 故有F =E. 从而, A = P1P2···Pl , 证毕 推论2: m?n矩阵A ? B的充分必要条件是存在m阶可逆方阵P及n阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B. 利用初等变换求逆阵的方法: 当| A | ? 0时, 则由 A=P1P2···Pl , 得 及 推论1: 方阵A可逆的充分必要条件是A?E. 由以上的证明可得: 可逆矩阵的标准形就是E, 实际上, 可逆矩阵的行最简形也是E. 则 即, 对n?2n矩阵(A|E)施行初等行变换, 当把A变成E的同时, 原来的E就变成了A-1. 对n?2n矩阵(A E)分块为(A|E), 同样, 对矩阵方程 AX = B, 其中A为n阶方阵, B为n?s 阶矩阵, 如果A可逆, 则X =A-1B. 由定理2得: 存在初等矩阵P1, P2,···, Pl , 使得A=P1P2 ··· Pl , 及 即 所以 也就是说, 当一系列初等行变换将A化为E 的同时也将B化为了A-1B. 考虑分块矩阵(A | B), 可得 对于有n个未知数n个方程的线性方程组, 用矩阵(向量)方程 Ax=b 表示. 行变换化为(E | x)时, 则系数矩阵A可逆, 且x =A-1b为方程 Ax=b 的唯一解(向量). 如果增广矩阵B = (A | b)经初等 例1: 设A= 求A-1. 解: r2–2r1 r3–3r1 r1+r