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第9章 矩阵位移法 9.1 概 述 前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。 矩阵位移法又称为杆件有限元法。它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。 本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。 9.2 单 元 分 析 9.2.1 结构离散化 结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。单元的联接点称为结点。对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。通常用①,②,…表示单元编号，用1,2,…表示结点编号。 例如图9.1(a)所示的平面刚架，共有4个结点，可划分3个单元。如图9.1(b)所示平面排架，杆件截面突变处也需看成是结点，共有6个结点，划分成5个单元。如图9.1(c)所示平面桁架，有5个结点，划分为7个单元。如图9.1(d)所示连续梁，荷载作用点4也取为结点，共有4个结点，该梁可划分为3个单元。若将荷载转化为等效结点荷载进行处理，该梁有三个结点，划分为两个单元。比较两种划分方法，前一种划分方法增加了结点和单元数目，也就增加了计算工作量，一般不采用此种划分法。 在结构中，往往会遇到变截面杆或曲杆，在结构离散化时，可将它们视为折杆或阶梯形截面来处理，依靠加密结点的方法来提高解题精度。 图9.1 9.2.2 在单元局部坐标中的单元刚度矩阵 结构离散化之后，要进行单元分析，其任务是建立杆端位移和杆端力之间的关系。 1．平面刚架自由单元刚度矩阵 当不考虑单元两端的约束情况时，对于平面杆件，单元杆端位移有6个，相应的杆端力 有6个。这样的单元称为自由单元。 如图9.2所示，自由单元两端结点编号为i和j，其单元编号为。以i为坐标原点，并规定由i到的方向为轴的方向，以右手法则定出轴的正向。这个坐标系称为单元局部坐标系，和分别称为单元的始端和末端。 单元杆端力列向量为 图9.2 单元杆端位移列向量为 在单元局部坐标系中，杆端力和杆端位移的符号均规定与坐标轴的正向一致时为正，其中转角和弯矩以逆时针方向为正。如图9.2所示杆端位移分量和杆端力的分量均为正向。 由于自由单元的位移包含了弹性位移和刚体位移两部分，而刚体位移仅由单元本身是无法确定的。因此，不能由单元的杆端力确定单元的杆端位移。但是，由单元的杆端位移可以确定单元的杆端力。设单元杆端位移分量是已知的，如图9.2所示。根据虎克定律和第七章表7-1并按本章的符号规定，利用叠加原理，则单元杆端力分别为 (9-1) 式(9-1)即为平面刚架自由单元刚度方程，写成矩阵形式则有 (9-2) 若令 (9-3) 则式(9-2)可简写成 (9-4) 式中，称为平面刚架自由单元刚度矩阵。其行数等于单元杆端力向量的分量数，列数等于单元杆端位移向量的分量数。由于这两个向量的分量数相等，所以，单元刚度矩阵是一个方阵。单元刚度矩阵中每一个元素的物理意义是：仅当其所在列对应的杆端位移分量为1时，所引起的其所在行相对应的杆端力分量的数值。 2．其他形式单元刚度矩阵 1). 平面