矩阵的初等变换-----.docVIP

第三讲 矩阵的初等变换 一、概念 1.定义矩阵的初等变换：下面的三种变换称为矩阵的初等变换 (1) ；.（换行或换列） (2) ；（数 (3) ；..（倍行加或倍列加） 2.矩阵与等价：经过有限次的初等变换变成. 记作. （1）等价的性质：反身性 ；对称性 若，则；传递性 若，则. （2）任何矩阵,即． 即存在有限个初等矩阵, 使.且矩阵的等价标准形惟一确定. （3）行阶梯矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全是零；每个台阶只有一行，台阶数为非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元.例如 上述两矩阵均为行阶梯矩阵. （4）行最简形矩阵：非零行的非零首元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵. 为行最简形矩阵. 例1 求所给矩阵A的行阶梯矩阵、行最简形矩阵以及等价标准型矩阵. （行阶梯矩阵） . （行最简形矩阵） （等价标准型矩阵） 3.初等矩阵的概念 （1）定义初等矩阵只经过一次初等变换得到的方阵. ①或 均对应初等方阵: ②或 均对应初等矩阵: ③或 均对应初等矩阵: （2）初等矩阵行列式的性质 . 重要结论：初等矩阵是可逆矩阵逆矩阵是初等矩阵.;② , ; ③. (4)初等矩阵的转置也是初等矩阵. ;② , ; ③. 4.矩阵初等变换的重要性质 【性质1】 设A是一个的矩阵，对A实施一次初等行(列)变换， 相当于在A的左边(右边)乘以相应的阶（阶）初等矩阵. 【性质2】 方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 ，使得，即. 【定理】设与为矩阵，则 ①存在阶可逆矩阵,使. ②存在阶可逆矩阵,使. ③分别存在、阶可逆矩阵、,使. 5.用初等变换求逆矩阵或解矩阵方程的方法 ①若可逆,则,于是,使，又 即，所以, 用分块矩阵运算表示为 . . ②用初等变换求解矩阵方程，求解线性方程组 (1)解矩阵方程，其中可逆，则 即 . (2)解线性方程组，其中可逆.则， 即 . (3)解矩阵方程，其中可逆，则 即 . 【定理6】 矩阵方程 有解的充要条件是 . 例2设， 求线性方程组 的解. 解 设 . 因为，所以可逆，且， 即线性方程组都有惟一解，且解依次为 . 3.矩阵的秩 （1）定义矩阵的阶子式： 在矩阵中，任取行与列， 位于这些行列相交处的个元素，按原相对位置构成的阶行列 式.（） .的阶子式共有 个. 例3 矩阵 的阶子式： 1阶子式如：,共有个. 2阶子式如：,共有个. 3阶子式如：,共有个. （2）定义矩阵中有一个非零的阶子式,而且所有(如果存在的话)值全为，则称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩,记作,即. . ②的最高阶非零子式称为矩阵的秩子式. 例4 显然矩阵 的秩为；. (3)矩阵秩的性质 .（结论显然成立） ②若,则（也称非奇异矩阵或满秩矩阵）.此时. 若,，即方阵是降秩矩阵（也称为奇异矩阵）. 此时有(注意：降秩与满秩矩阵都是对方阵而言的) ③. ④初等变换不改变矩阵的秩,即;),其中 为初等矩阵. 若,则.若,则.. 特别地，当时，有. 证 因为的最高阶非零子式总是的非零子式,所以 .同理有，所以 . 设.把与分别作列变换化为列阶梯形和 ，则和中分别含有r,t个非零列， 设，. 则 由于中只含个非零列，因此 ,而 ， 故 ，即 .综上所述 . ⑥. 证 不妨设为，则 ， 于是 . ⑦设，则. 证 一方面： 设，则.其中分别为 阶可逆矩阵，又设，则，且 , 所以. 又， 所以 . 另一方面：由 且 ，又由为形矩阵知 ， 所以 ，即 . 综上所述 . 结论：若,则. 结论：①将一个矩阵左乘一个列满秩矩阵时，其秩不变. ②将一个矩阵右乘一个行满秩矩阵时，其秩不变. ③矩阵的初等行变换不改变秩子式的列位置；矩阵的初等列变换不改 变秩子式的行位置. 子式的行位置. 二、提问 1.下列矩阵（ ）不是初等矩阵 （A(B)(C) (D). 2.已知 ，则（ ） （A）可逆；（C）为对称矩阵（）; （D）.(所有答案正确) 3.（） 求作一个秩为4 的方阵，它的两个行向量是 解 4.解方程 . 解 因为，且， 故方程的解为 . 练习： 解方程 . 答案： 5.（92年数一）设， 其中，则= 1 . 提示：，为非零矩阵 又因为即得结论. 6.(93年数三)当且时，则= 0 . 7.（96年数一）设且，又， 则＝ 2 .（注意B为可逆矩阵）. 8.（09.3.4）设,均为3阶矩阵，为的转置矩阵， 且，若，, 则 为（ ） （A） (C) (D) 提示： . 9.矩阵 ,，则 （ C ） （A）都不