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第一讲 线性空间 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。 1．线性空间的定义： 设是一个非空集合，其元素用等表示；是一个数域，其元素用等表示。如果满足[如下8条性质，分两类]: （I）在中定义一个“加法”运算，即当时，有唯一的和（封闭性），且加法运算满足下列性质: （1）结合律 ； （2）交换律 ； （3）零元律 存在零元素，使； （4）负元律 对于任一元素，存在一元素，使，且称为的负元素，记为。则有。 （II）在中定义一个“数乘”运算，即当时，有唯一的（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ； （6）分配律 ； （7）结合律 ； （8）恒等律 ； [数域中一定有] 则称为数域上的线性空间。 注意以下几点： 1）线性空间是基于一定数域来的。同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。 2）两种运算、八条性质。数域中的运算是具体的四则运算，而中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。 3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。 当数域为实数域时， 就称为实线性空间； 为复数域， 就称为复线性空间。 设{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 , 证明：是实数域上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若,, ，则有 ， 封闭性得证。 ②八条性质 （1） （2） （3） 是零元素 [] （4） 是的负元素 [] （5） [数因子分配律] （6） [分配律] （7） [结合律] （8） [恒等律] 由此可证， 是实数域上的线性空间。 2．定理：线性空间具有如下性质 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 如下恒等式成立： ，。 [证明]（1）采用反证法： ①零元素是唯一的。 设存在两个零元素和，则由于和均为零元素， 按零元律有 [交换律] 所以 即和相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设，存在两个负元素和，则根据负元律有 [零元律] [结合律] [零元律] 即和相同，故负元素唯一。 （2） ①：设，则，故。 [恒等律] ②：设，则，故。 3．线性相关性 线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。 ?线性组合： 称为元素组的一个线性组合。 ?线性表示：中某个元素可表示为其中某个元素组的线性组合，则称可由该元素组线性表示。 ?线性相关性：如果存在一组不全为零的数，使得对于元素有 则称元素组线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．线性空间的维数 定义：线性空间中最大线性无关元素组所含元素个数称为的维数，记为。 本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。 例2. 全体m×n阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。 [解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。 令为这样的一个m×n阶矩阵，其元素为1，其余元素为零。 显然，这样的矩阵共有m×n个，构成一个具有m×n个元素的线性无关元素组。另一方面，还需说明元素个数最大。对于任意的，都可由以上元素组线性表示， 即构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为m×n。 线性空间的基与坐标 基的定义：设是数域上的线性空间，