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例谈利用导数证明不等式的方法 广东肇庆中学 张本龙 【内容摘要】 导数作为工具是一道靓丽的风景线，也是近几年高考的一个新热点，在某些不等式的证明中，若能及时地构造适当的函数，再利用导数研究函数的单调性或最值，最后得出要证明结论，定能会更胜一筹，达到事半功倍的效果。 【关键词】 构造 可导函数 研究单调性 最值 整理结论 【正文】 在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效。这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论。 下面举例说明： 例1：当时，证明不等式成立。 证明：设则 ∵∴ ∴在内单调递减，而 ∴ 故当时，成立。 点评：一般地，证明可以构造函数 如果，则在上是减函数，同时若由减函数的定义可知，时，有即证明了。 例2：求证：其中 证明：设则 即在上是增函数，又当时,有成立。 点评：一般地，证明可以构造函数 如果，则在上是增函数，同时若由增函数的定义可知，时，有即证明了。 例3：当时，证明不等式成立。 证明：设则 令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。 例4：（04年高考全国卷二22（Ⅱ））已知函数设证明： 证明：设则当时，在内为减函数；当时，在上为增函数。 从而，当时，有极小值 即…………………………………………………………（1） 设则当时，因此，在上为减函数。 即………………………………………………（2） 由（1）、（2）可知，成立。 例5：（07年高考山东理 22（Ⅲ））设函数其中证明对任意的正整数，不等式都成立． 证明：当时，函数， 令函数， 则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立． 例6.（08年高考山东理21（Ⅱ））已知函数其中,为常数.当时，证明：对任意的正整数,当时，有。 证法一：， 当为偶数时，令 则. 当时，单调递增，又 ， 恒成立，成立。 当为奇数时， 要证,由于，只需证, 令 , 则 当时，单调递增，又， 当时，恒有, 即，命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当时， 当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明 令,则 当时，，故在上单调递增， 因此，当时，，即成立. 故当时，有.即. 从以上几例可以看出，导数不仅是证明不等式的重要思想方法，也是判断函数的单调性、求函数极植、最值等的重要思想方法，这类试题在考查综合能力的同时，充分体现了导数的工具性和导数应用的灵活性，与新课程标准接轨，彰显时代气息。 参考书目： 1、普通高中课程标准实验教科书《数学》 （选修2—2） 人民教育出版社 2、高中新课标同步攻略 《学海导航》 、《数学》 （选修2—2） 海南出版社 3、《2004—2008新课标必威体育精装版5年高考真题 》 北京天利考试信息网 4