算法合集之(回到起点——一种突破性思维）.pptVIP

回到起点——一种突破性思维 南京市外国语学校 朱泽园 问题一的提出USACO Shaping Regions 改编 N个不同颜色的不透明长方形（1=N=3000） 放在一张长宽分别为A、B的白纸上 边与白纸的边缘平行 求俯视时看到的所有颜色的面积 问题一的解决——简单的预处理 离散化 整数坐标 坐标范围在1~2n之间。 问题一的解决——经典算法 问题一的解决——经典算法 自顶至底依次插入颜色为X的线段[l,r]，该区间[l,r]上原有颜色不被替换，其余部分染上颜色X。 O(logn) 返回所有颜色的覆盖量。 O(n) 问题一的解决——经典算法 O(n2logn) 优点： 广为人知 复杂度较低，练习线段树的经典教材 问题一的解决——朴素算法 O(n3) 问题一的解决——另类算法 O(n3) 优点： 极易实现 启发性强（有潜力可挖） 寻找冗余！ 这一段的检索有必要吗？ 问题一的解决——另类算法 对已覆盖的区间，新增后续指针 走进已覆盖离散格时，沿指针进入下一个离散格 将途径离散格的后续指针设为当前覆盖区间之后的第一格。 路径压缩？神似并查集! 问题一的解决——另类算法 将相邻的已染色线段看成一个集合 红色 覆盖[2,5] 问题一的解决——另类算法 问题一的解决——另类算法 问题一的解决——另类算法 完整的路径压缩，再加上按秩合并可以使改进算法的时间复杂度完全降至O(n2)，具体操作和证明参见我的论文。 问题二的提出BalticOI2004 1-3 Sequence改编 给定序列t1, t2, …, tN，要求构建一个递增序列z1 = z2 = …= zN，使得|t1 - z1| + |t2 - z2| + … + |tN - zN|尽可能小。其中1≤N≤1000000，0≤tK≤2000000000。 问题二的解决——定义与说明 由于最优方案不为一，下文中描述X是一组最优方案的同时，并不表示最优方案一定是X。对方案进行微调时，不保证原方案不是最优，但我们可以保证调整后的方案一定不会变差（某种程度上更接近最优）。 z序列组成的方案可用(z1,z2,…zn)表示。 问题二的解决——引理 对给定的t1, t2, ...,tn，如果最优方案满足z1=z2=...=zn=x，那么 x为t[1..n]中位数时，其为一个最优方案。 问题二的解决——引理 对于给定的t1, t2, ...,tn，如果最优方案是z1 = z2 = ... = zn =u，那么 问题二的解决——引理 对t1, t2, ...tn，以及tn+1, tn+2, ...tn+m，如果(u,u,...u)和(v,v,...,v)分别是它们的最优方案，并且u≥v，那么 z[1..n+m] = t[1..n+m]的中位数 问题二的解决——第一类算法 依次处理每个元素，对先前已经得到的最优方案进行微调 问题二的解决——第一类算法 如果当前最后一个区间的z值较前一个区间小，根据引理我们合并这两个区间，新的z值设定为它们的中位数 问题二的解决——第一类算法 如果当前最后一个区间的z值较前一个区间小，根据引理我们合并这两个区间，新的z值设定为它们的中位数 问题二的解决——第一类算法 选取一个优秀的数据结构，它可以高效地完成如下任务： 1、集合合并 2、求出该集合的中位数。 注意到集合最多和并n-1次，求中位数操作不超过n-1次。 问题二的解决——第一类算法 方法一：平衡二叉树 O(n(logn)2) 方法二：最大堆 O(n(logn)2) 可以严密证明，区间合并时相邻两个区间的数，最大一半的并集，恰好是合并后区间最大的一半 方法三：在方法二基础上寻找冗余，努力避免集合的合并操作 O(nlogn) 方法四：左偏树 O(nlogn) 实现难！思考深度大！ 问题二的解决——引理 对给定的t序列t[1..n]，如果z[1..n]是一组最优策略，那么我们可以假定： 满足z[i]x的最小的i，恰好是最小的i使得对任意i≤j≤n，t[i..j]的中位数x。 （如果某组最优方案不满足该条件，我们可以经过调整，使得另一个最优方案满足该条件） 问题二的解决——引理 满足z[i]x的最小的i，恰好是最小的i使得对任意i≤j≤n，t[i..j]的中位数x。 问题二的解决——第二类算法 二分！ 总结 问题的表示往往比答案更重要，答案不过乃数学或实验。 要提出新的问题、新的可能性、从某个新的角度考虑一个旧问题，都要求创造性的想象力，回到起点对问题重新定义，这才是真正的科学进步之所在。 i ti 第1个区间 第2个区间 第3个区间 合并，找到新的中位数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pr