全等三角形問题中常见的辅助线的作法.doc

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线（线段）造全等 例1.已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线， 求证：AB+AC2AD。 分析：要证AB+AC2AD，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。 3图 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC 因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC ACE=∠BCA，所以BCA∽△ACE 所以ABC=∠CAE 因为DC=AC，所以ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD 所以ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以BAD=∠DAE 即AD平分BAE 应用： 二、截长补短 例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。 求证：BE+CFEF。 分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。 证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。 延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 证明： 取AB中点E，连接DE AD=BD ∴DE⊥AB，即AED=90o【等腰三角形三线合一】 AB=2AC ∴AE=AC 又EAD=∠CAD【AD平分BAC】 AD=AD AED≌⊿ACD（SAS） C=∠AED=90o ∴CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD 在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以ACE+∠BDE=180 而ANE+∠ENB=180 所以ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 证明： 做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。 （首先算清各角的度数） APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70° 且APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC（同位角相等）=180°—70°—40°=70° APB=∠APM 又AP是BAC的角平分线， BAP=∠MAP AP是公共边 ABP≌△AMP(角边角） AB=AM，BP=MP 在MPC中，MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC ∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在QBC中 QBC=QCB=40° ∴BQ=QC ∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP 赞同 ， 求证： 延长BA,作DFBA的延长线，作DEBC ∵∠1=∠2 ∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等） 在RtDFA与RtDEC中 ｛AD=DC,DF=D