2007-2008数值计算方法A卷标准答案.doc

2007—2008学年第1学期 《数值计算方法》期末试卷标准答案 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学院信息与计算科学系 考试日期 2008-01-11 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 阅卷人 一. 填空题（每空2分，共34分） 1. 设 是真值 的近似值，则 有????3 ?位有效数字。 2.求方程根的牛顿迭代格式是。 3． 迭代法收敛于，此迭代格式是阶收敛的。 4. 设，则 。 5. 形如 的插值型求积公式, 其代数精度至少可 达次，至多可达次。 6. 向量 ，, 矩阵 ，则 ___36____，Cond。 7．对矩阵A作如下的LU分解： ，则 ， 8. 设 ，要使，与应满足?。 9. 解初值问题的公式 是几步几阶方法？ 二步二阶。 10. 设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则= 11. 已知 是三次样条函数，则 ，。 12. 按最小二乘法拟合三点的直线是。 二. (12分) 设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项 的表达式 0 1 2 1 2 9 4 解： （5分） （8分） （10分） 令，作辅助函数 则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点： 反复利用罗尔定理可得：， 所以 (12分) 三．（12分） 求积公式 又知其误差余项为 试确定系数，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 值。 解：将分别代入公式得： （6分） 当时，左边等于，右边等于，所以求积公式最高代数精度为2。 （9分） 将代入有误差项中的积分式中 （12分） 四．(12分) 分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组 写出迭代格式，并判断收敛性。若将原方程组变为 再用上述两种迭代法求解是否收敛？说明原因。 解: 雅可比迭代格式为 发散 （4分） 高斯-赛德尔迭代格式为 发散 (8分) 方程组变为形式后 方程均严格对角占优，则收敛。 （12分） 五. （16分） 1.（8分） 用Gauss列主元消去法解方程组： 解： （3分） (6分) (8分) 2．（8分）取步长，求解初值问题 用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 解： 改进的欧拉法： （2 分） 所以；（4分） 经典的四阶龙格—库塔法：（6分） ，所以。 （8分） 六.（下列2题任选一题，8分） 1．设，试建立计算 的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。 2．推导求解常微分方程初值问题 形式为 的公式，使其精度尽量高，并指出方法的阶数。 (其中) 解：1. 1. 解：问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为 （2分） 下面证明对任何初值迭代过程收敛。 根据定理2.8, 对于任何，迭代公式收敛。（5分） 当时，由f的单调性知 对任何初值迭代过程收敛。 （8分） 2. 局部截断误差= （4分） 令，得，，计算公式为，i=0,1,2,… (6分) 局部截断误差为＝，方法是二阶方法。（8分） 七.（6分） 设在上具有二阶连续导数，且证明 证明： （3分） 则 （6分） 7 Ａ卷