2013高考立体几何命题动向第7讲立体几何中的向量方法(一).doc

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2013高考立体几何命题动向第7讲立体几何中的向量方法(一)

第7讲 立体几何中的向量方法(一) 【2013年高考会这样考】 1.通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算. 2.能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理. 3.利用空间向量求空间距离. 【复习指导】 本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面关系,会用向量法求空间距离. 基础梳理 1.空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3); λa=(λa1,λa2,λa3); a·b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则ab?a=λba1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λR), ab?a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|==, cos〈a,b〉==. 设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), 则dAB=||=. 2.立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量. 平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 (2)用向量证明空间中的平行关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合)v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则lα或lα?存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2. 设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则lα或lα?v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则αβ?u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2?v1⊥v2?v1·v2=0. 设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则lα?v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则αβ?u1⊥u2?u1·u2=0. (4)点面距的求法 如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=. 一种思想 向量是既有大小又有方向的量,而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范,是对向量大小和方向的量化: (1)以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标; (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标. 得到向量坐标后,可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系,计算空间成角和距离等问题. 三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题: (1)平行 (2)垂直 (3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用,也是求异面直线之间距离,直线与平面距离和平面与平面距离的基础. 双基自测 1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是(  ).A.平行 B.相交 C.垂直 D.不确定 解析 v2=-2v1,v1∥v2. 答案 A 2.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是(  ). A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 解析 n=(6,-3,6)是平面α的法向量, n⊥,在选项A中,=(1,4,1),n·=0. 答案 A 3.(2011·唐山月考)已知点A,B,C平面α,点Pα,则·=0,且·=0是·=0的(  ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由,得·(-)=0, 即·=0,亦即·=0, 反之,若·=0, 则·(-)=0·=·,未必等于0. 答案 A 4.(人教A版教材习题改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(  ). A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 解析 c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,a∥c, 又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,a⊥b. 答案 C 5.(2012·舟山调研)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是________. 解析 设平面ABC的法向量n=(x,y,z). 则即 令z=1,得n=,

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