21线性赋范空间.doc

第二章 线性赋范空间与内积空间 Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces 前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间． 2.1 线性赋范空间的定义与极限 在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数． 定义2.1.1 线性空间 设为一非空集合，表示实数域(或为复数域)．在中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与中元素的乘法运算，且满足下列条件： 1. 关于加法“+”：，与之对应，记为，称为与的和，且具有， (1) (交换律)； (2) (结合律)； (3) 在中存在唯一元素，使得，有，则称为中零元素； (4) ，存在唯一元素，使得=，称为的负元素，记为. 2. 对中每个元素及任何实数(或复数)，存在元素与之对应，记为=，称为与的数乘，且满足，(或) (1) (分配律)； (2) (数因子的分配律)； (3) (结合律)； (4) (单位). 则称按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算． 我们知道，维欧式空间是线性空间；在通常加法和数乘意义下构成线性空间；阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间． 2.1.1 线性赋范空间的定义与举例 定义 2.1.2 线性赋范空间Normed Linear Spaces 设是数域上的线性空间，其中表示或者．若对每个，有一个确定的实数，记之为，与之对应，并且，满足： (1) ， (正定性or非负性)；Positive definiteness or Nonnegativity (2) (齐次性)；Multiplicativity (3) (三角不等式). Triangle inequality 则称为向量的范数(norm)，称为线性赋范空间.简记为．通常称定义中的(1)、 (2) 、(3)为范数公理． 注1：线性赋范空间诱导的度量空间 在线性赋范空间中可定义距离：，定义 容易验证非负性、对称性和三角不等式为度量(距离)空间，并称为由范数导出的距离，按导出的距离成为一个度量空间．从而在线性赋范空间中，关于点的邻域、开集、闭集、点列的收敛、极限点、列紧、可分性以及完备性等概念都有了确定的含义． 定义 2.1.3 巴拿赫空间Banach space 设为一线性赋范空间，如果按照距离是完备的，则称为巴拿赫(Banach)空间.即完备的线性赋范空间称为Banach空间. 例 2.1.1 在维欧式空间上，，定义范数 ． 记为由范数导出的距离，证明为Banach空间. 证明 容易验证正定性和齐次性成立，由于第二章已经证明上距离 满足三角不等式，所以有 ． 同时第二章已经证明是完备的度量空间，故为Banach空间．□ 例 2.1.2 在在通常加法和数乘意义下构成线性空间，定义范数，此范数导出的距离为，证明在此距离下是完备的，即在此范数下为Banach空间． 证明 容易验证正定性和齐次性成立，又 即满足三角不等式．第二章已证明在此范数诱导的距离意义下是完备的度量空间，故为Banach空间．□ 也可证明线性空间，，()为Banach空间，加之前两个例题的结果知在下列定义的范数意义下，均为Banach空间： 维欧式空间 有界数列空间 次幂可和的数列空间 连续函数空间 次幂可积函数空间 例 1.3 在上定义范数，其导出的距离为 ， 那么在范数下不是Banach空间． 证明 仿照前章证明在下不是完备的度量空间，可知不是完备的度量空间，又因，可知符合范数的三条公理．故在范数下不是Banach空间．□ 如果在线性空间上具有定义好的距离函数，那么就为一度量空间，试问是否在存在上的某范数，使得是由这个范数导出的距离，即满足．答案是否定的． 例 2.1.4 设为线性赋范空间，令 证明为度量(距离)空间，但不是由某范数导出的距离． 证明 显然距离定义中的非负性和对称性成立，，下证三角不等式成立 当时，则； 当时分为三种情况：(1)和． ． (2)和．注意到和，所以有 ． (3)和．注意到和，所以有 ． 因此是度量空间．假设是由