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利用导数证明不等式的几种方法
利用导数证明不等式的几种方法
郭家勇
(江苏连云港师范高等专科学校数学系 江苏 ·连云港 222006)
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1672—7894(2012)18—0107—02
摘 要 本文介绍 了高等数学中利用导数这个工具证明不 () (1)=O,从[fflf(x)~xl时递增,有xl时 () (1)
等式的一些常用的方法 = 0,从而命题得证。
关键词 不等式 导数 极值 3利用极值的单峰原理证明不等式
、 SeveralM ethodsofUsingDerivativestoProveInequa- 若函数厂()在 (b)内可导且有唯一的极值大(小)点
li //GuoJiayong 则‰为f(x)的最大(小)值点,则有不等式对于一切的
AbstractThispaper introduces some common methodsof (喁6),有不等式f(x)≤,(o) () (o)),我们称之为
usingderivativestoproveinequalityinadvancedmathematics. 极值的单峰原理。利用单峰原理可以对有唯一的一个极值
Key words inequality;derivatives;extremevalue 点的函数来证明不等式。
Author’S address Depa~mentofMathematics,Lianyungang
例3:证明e ≥ +1
Teacher。SCollege,222006,Lianyungangdiangsu,China
证 明:设f(x)=.ex--x一1,∈(--00,+∞),厂()=e*-l=O,解
得 =O ’
证明不等式是高等数学中的一个重要内容 ,证明不等
厂( =ex,,(o)=eD_10,从而x=0为. ,()的唯一的极小
式的方法有很多,利用导数这个工具证明不等式是一个很
值点,由单峰原理x=0为 )的最小值点,从而有对于一切
有效的工具,在高等数学中利用导数证明不等式也是导数
一 个非常重要的应用,是一个重要的知识点,也是各类考试 的 ,有 )≥,(0)=0,从而不等式得证。
高频考点之一。其中常用的方法有 :应用微分中值定理,应 例4:证明不等式生 ,∈0, )
仃 彳r
用函数的单调性,应用极值的单峰原理 ,求连续函数在闭区
间上的最大最小值及函数的凹凸性等这些方法来证明不等 证明:先证不等式sinxx,∈(0,生)。
仃
式。
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