数列通项公式求法及数列求和方法.docVIP

数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4） 答案：（1） （2） （3） （4）. 公式法 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：an=a1+(n－1)d = 2(n－1)； bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 例3. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) (D) 例4. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式. 简析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知利用公式 . 例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2） 答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一. 三、?累加法 【型如的递推关系】 简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则时 时，上式也成立.所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出 ，即得数列的通项公式。 例7、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则时 时，上式也成立.所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 练习1：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. .答案： 练习2：若在数列中，，，求通项 .答案：= 练习3：已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案： 四、累积法 【 形如=(n)·型】 （1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例7、已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例8、（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得则，因为所以故 所以 ③ 由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。 练习1：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式. 答案： 练习2： 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式. 答案： 思考题1：已知,求数列{an}的通项公式.分析：原式化为 若令,则问题进一步转化为形式，累积得解. 五、构造特殊数列法 构造1：【形如,其中)型】 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 方法如下：设,得,与题设比较系数得， 所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列. 例9：已知数列的递推关系为，且求通项. 答案： 构造2：相邻项的差为特殊数列 例10：在数列中，，，，求. 提示：变为. 答案： 构造3：倒数为特殊数列【形如】 例11： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式. 答案 构造4： 例12：已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 例13：已知数列