现代控制理论_第12章_最优线性预测与滤波的基本方程.ppt

维纳滤波问题的提法 第六节 系统噪声与观测噪声相关的卡尔曼滤波 离散系统 连续系统 第七节 具有输入信号的卡尔曼滤波 一 离散系统 二 连续系统 显然，随机过程 相当于单位强度白噪声（谱密度 的白噪声称为单位强度白噪声）长时间作用于传递函数为 的线性系统的结果。 该系统是一个惯性环节，其时间常数为 ，放大系数为 ，可用图12-18表示。 把单位强度白噪声 转变为有色噪声 的线性系统称为成形滤波器，上述的惯性环节即为成形滤波器。如果把上述成形滤波器的特性用微分方程表示，则有 若令 则成形滤波器方程为 式中 为白噪声，且有 因此，对于某些特定的有色噪声，可用单位强度白噪声通过成形滤波器来表示。通过以上分析可知，如果有色噪声的相关函数是指数函数，则 在谱密度中的最高次项为 ，则成形滤波器用一阶微分方程表示。 对于多维的有色噪声，如其相关函数为指数函数，则其成形滤波器方程可用一阶向量微分方程表示： 式中， 为多维有色噪声、 为 的系数矩阵， 为均值等于零的白噪声过程，其统计特性为 对于一般的平稳随机过程 ，如果谱密度 为 的有理函数，且能分解成 式中 和 是 的多项式。 和 的根都在上半复数平面内，即 和 的根在复平面的左半部。则随机过程 相当于单位强度白噪声 长时间作用于频率特性为 的线性系统的结果，则成形滤波器的传递函数为 二 离散系统的成形滤波器 设 为一平稳随机序列，已知其相关函数为 这里不加推导地写出成形滤波器方程如下： 式中， 为成形滤波器的转移矩阵： 为均值不零的白噪声序列，其统计特性为 将式(12-54)、(12-55)、(12-56)与第三节中的式(12-20) 、(12-25)、(12-27)相比较，可得以下结论： ⑴ 与 相关情况下的最优预测估计方程(12-54)与两者不相关情况下的最优预测估计方程(12-20)完全相同的。 ⑵ 和 的相关性只影响最优增益矩阵和估计误差方差阵。很明显，若 ，式(12-55)和(12-56)分别变成式(12-25)和式(12-27)。 二 连续系统 系统的状态方程和观测方程与式(12-46)和式(12-47)完全相同，即 和 是均值为零的白噪声，且两者相关，则 采用第五节所用的推导方法，可得 和 相关情况下的连续系统最优滤波方程、最优增益矩阵、估计误差方差阵。 (12-57) (12-58 ) (12-59) 将式(12-57)、(12-58)、(12-59)与式(12-51)、(12-52)、 (12-53)相比较，可得以下两点结论： ⑴ 与 相关情况下的最优滤波方程(12-57)和两者不相关情况下的最优滤波方程(12-51)完全相同，这说明 与 两者的相关性不影响估值方程。 ⑵ 和 的相关性只影响 计算公式，若 则式(12-58)和(12-59)分别变成式(12-52)和式(12-53)。 在上面讨论卡尔曼滤波基本方程时，为了简便起见，假定作用于系统的控制信号等于零。实际上，系统总会受到控制信号的作用。下面讨论具有输入控制信号的卡尔曼滤波方程。 一 离散系统 系统的状态方程和测量方程为 式(12-60)中的 为已知的非随机控制序列，式(12-61)中 的为观测系统的系统误差项，也是已知的非随机序列。在采样间隔 内， 和 都是常值。 （12-60） （12-61） 和 的统计特性如下： 采用与前面相同的推导方法，可得到具有输入控制信号的卡尔曼滤波方程。下面不加推导地直接写出具有输入控制信号的最优预测的卡尔曼滤波方程。 （12-62） （12-63） （12-64） 将式(12-62)、(12-63)、(12-64)与式(12-54)、(12-55)、 (12-56)相比较，可得以下两点结论： ⑴ 当系统具有输入