离散数学第3章_(5-6)(新教材).ppt

定义5.2’(三元序偶) 设A,B,C是三个集合,x,y,z是分别从这三个集合取来的任意三个元素.我们把形如x,y,z的符号称为一个三元序偶.为了简便起见,三元序偶x,y,z通常简写为x,y,z.  定义5.4(多重笛卡尔积) 设 是n个集合(n?3),由一切n元序偶 ( ) 组成的集合称为这n个集合的n重笛卡尔积,记为 . 为简单起见我们将它记为 .特别地,如果 是一个给定的集合,则记 笛卡尔积有如下性质: (5)设A,B,C,D均为非空集合,则有 A?B?C?D ?(A?C)?(B?D). 证明:我们只给出(1)和(3)的第一式以及(5)的证明. (1)的第一式的证明: ?x, y?A?(B?C) ?(x?A)?(y?B?C) ?(x?A)?((y?B)?(y?C)) ?((x?A)?(y?B))?((x?A)?(y?C))  ?(x, y?A?B)?(x, y?A?C) ?x, y?(A?B)?(A?C), 同理可证其余. (3)的第一式的证明: 只证明A?(B-C)?(A?B)-(A?C). ?x, y?A?(B－C) ?(x?A)?(y?B－C) ?(x?A)?((y?B)?(y?C)) ?((x?A)?(y?B))?((x?A)?(y?C))  ?(x, y?A?B)?(x, y?A?C) ?x, y?(A?B)－(A?C), 同理可证其余. 第六节 关系及其表示 在科学以及人类社会活动中，到处都有各种各样的关系存在。 在数学中当然充满了关系，例如在整数之间对于取定的一个除数有余数相同的同余关系；在实数之间有大小关系；集合之间有包含关系；在三角形之间有全等关系以及相似关系；即便在人类社会中也有数不清的关系存在，例如家庭中的长幼关系、学校中的师生关系、工作单位里的同事关系以及上下级关系等等等等。 如何确切地表达“关系”这个概念，并对它进行深入的研究，是我们这一部分的一个重点内容。本书中重点讨论两个对象之间的“二元关系”，而不涉及多个对象之间的“多元关系”。 例1. (整数集合上的同余关系) 取定一个正整数k(通常取k为大于1的整数,这样的数k在数论中称之为“模”,它的含义实际上是除法中的除数),将全体整数的集合 中的每一个整数被k除，取非负最小余数.容易看出,可能得到的不同的余数一共有以下k个:0,1,…,k-1.现在定义 上的一个二元关系 如下: , 这里 的含义是 整除 .通常我们把 表示成下面的形式 , 这个式子可以读成“ 和 关于模 同余”.之所以这样说,其原因在于:当且仅当 成立时, 和 被模 除显然有相同的余数. 例3.给定集合A={a,b,c,d},在集合A上定义如下几两个二元关系R1,R2: R1={a,a,a,c,b,b,b,d,c,c,c,a,d,d,d,b}, R2={a,c,a,d,b,c,d,b}. 例4.给定集合A={1,2,3,4,5},定义A上两个关系如下: 经过计算,它们实际上就是如下的两个关系 ,