第2章 矩阵理论基础.ppt

第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。 令 ，得通解 即 ( 取任意实数) 对于非齐次方程组 定理2.6.1 对于齐次方程组 非齐次方程组解的判别定理 定理2.6.2 齐次方程组解的判别定理 例1 时， 有无穷多解。 ， 时， 无解。 ， 时， 有无穷多解。 问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解。 解 ： 设 的线性方程组 的系数行列式 定理2.6.3 Cramer法则 则方程组有唯 一解,且解为: 证明P.77 对于齐次方程组 系数行列式 方程组只有零解 或者说： 方程组有非零解 定理2.6.4 易由定理2.6.2得证。 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则，它有唯一解。 解线性方程组 例2 同理可得 故方程组的解为: 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解 系数行列式 按第3行展开 结论… 例3 例4 解：系数矩阵是方阵首选行列式法 问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。 分析：当 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。 当 时，方程组有唯一解。 当 时 当 时， ，方程组无解。 当 时， ，方程组有无穷多解。 通解为 作业 P73 3; 4; 5 练习 问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求通解。 解： (显然对 a = 0 也成立) 令 得通解 当 a = －10 时，同解方程组为 令 得解 a = 0 时，同解方程组为 当 a = 0 或 a = －10时有非零解。 计算n 阶行列式 解 将 按第一行展开得 例11 得递推公式 特征3：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。 计算n 阶行列式 解： 注意与例7的 形式不同。 例12 特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角 各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。 特征5：非零元素特别少（一般不多于2个），可直接 利用行列式的定义求解。 行列式常用的计算方法： 化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。 设A是奇数阶方阵，且 证明 证 例4 例6 设 A , B 和 A+B 均可逆 , 证明 也可逆,并求其逆. 证 例7 设 A 为 n 方阵 , 证明 证 (1) 如果 A=O, 则结论显然成立.如果A≠O, 反证: 假设 ,则 可逆,由 两边右乘 得A=O , 矛盾. (2) 如果 , 由(1)结论成立. 如果 , 在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式. 定义 例如 等等, 它们都是二阶子式. 等等, 它们都是三阶子式. 每一个元素都是一阶子式. 问: 子式的最高阶数？ 矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零. 定义 例如 根据定义回答下面问题： (2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是?_______________ r(A)≤min(m, n) (3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?________ r(A)≥r (4) A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于___, A 的秩等于___。如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, 则A 的秩最大可能是_____。 (5) r(A) ? = r(AT) _____________ 零 r (6) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 r(A