第六讲正态随机过程讲义.ppt

《随机信号分析》教学组 * * 1.5 正态(高斯)随机过程 一 正态随机过程的一般概念 1 正态随机过程的定义 如果随机过程X(t)的任意n维概率分布都是正态分布， 则称它为正态随机过程或高斯 随机过程，简称正态过程或高斯过程。 * * 2 正态随机过程的概率密度函数 上式中,mX是n维均值向量，K是n维协方差矩阵 * * * * 3 性质 正态随机过程的n维概率密度函数只取决于均值和协方差和相关系数。 4 复随机正态随机过程 若复正态随机过程Z(t)的n个采样时刻得到n个复随机变量，即 其中，Xi、Yi皆为实随机变量。 此n个复随机变量的联合概率密度应是 2n维随机变量的联合概率密度服从正态分布。 * * 二 平稳正态随机过程 1 平稳正态随机过程的定义 若正态随机过程满足下列条件，则它是宽平稳正态随机过程。 * * 2 平稳正态过程的n维概率密度函数 平稳正态过程一维概率密度函数： 平稳正态过程二维概率密度函数： 其中r为相关系数。 * * 式中，R是相关系数 构成的行列式，形式如下 平稳正态过程n维概率密度函数： 为行列式中元素 的代数余子式。 * * 三 正态随机过程的性质 正态随机过程的n维概率密度完全由它的均值函数和协方差函数所确定。 性质1： 性质2： 正态过程的严平稳与宽平稳等价。 1）由正态随机过程的概率密度表达式可知，它的 任意n维概率密度仅由均值,方差和相关系数唯 一确定。如果正态随机过程X(t)宽平稳，则其 均值和方差是常数，相关系数只与时间差有关， 因此它的任意n维概率密度函数仅与时间起点无 关，因此是严平稳的。 2）由于正态过程的均方值总是有界的，因此严平 稳正态过程一定是宽平稳的。 证明 * * 性质3：正态过程的不相关与相互独立等价。 （2）如果Xn（n＝1,2,…）两两之间互不相关，则 若X(t)在n个不同时刻采样得到一组随机变量为X1, X2,…,Xn 证明 （1）如果Xn（n＝1,2,…）两两之间相互独立，则对任意的 则正态随机过程在n个不同时刻的取值不相关。 * * 即两两相互独立。 因此 所以 则 * * 性质4：平稳正态过程与确定信号之和概率密度函数仍 服从正态分布。 证明 设X(t)为平稳正态过程，S(t)为确定性信号，合成信号为Y(t)=X(t)+S(t) 那么对于任意时刻t，Y(t)=X(t)+S(t)为随机变量，这时S(t)具有确定值，由随机变量函数的概率密度求出Y(t)的一维概率密度函数为： 且服从正态分布。 同理，Y(t)的二维概率密度为： 正态分布 同理，可证明合成信号的n维概率密度也是正态过程。 性质6：若正态过程X(t)在T上均方可微，则其 导数 也是正态过程。 性质5：若 为 维正态随机 变量，且 均方收敛于 即对每个 ，有 则 为正态分布的随机变量。 * * 若正态过程 X(t)在T上均方可积， 则积分过程 性质7： 也是正态过程。 正态随机过程通过线性系统后的输出仍为正态过程。 性质8： 正态过程的线性变换仍为正态过程。 推论： * * 例　设Ｘ(t)为零均值高斯过程，其协方差为 　求在时刻 抽样的三维概率 密度？ * * 解 由定义式可知 其中 将K代入，即可得出三维概率密度。 * * 例　设Ｘ(t)为平稳高斯过程，其自相关函数为 　求随机变量 的概率密度函数。 * * 解　因为Ｘ(t)为高斯过程，所以Y为高斯变量，则 　可得 军用PKI体系结构及其关键技术 西安电子科技大学通信工程学院 军用PKI体系结构及其关键技术 西安电子科技大学通信工程学院