第七章 半群与群.ppt

定理 6.2-4 群〈G , *〉的运算表中的每一行或每一列都是G中元素的一个置换。 即：在G运算表的每一行里，G的每个元素都出现一次，且出现一次。在不同的行里，元素的排列顺序也不同。 证 首先, 证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可能多于一次。用反证法, 如果对应于元素a∈Ｇ的那一行中有两个元素都是k, 即假定a * b1=a * b2=k, 而b1≠b2, 但根据定理6.2-2有b1=b2。 得出矛盾。对于列也一样可以证明。 其次, 要证明G的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。还是考察对应于元素a的那一行, 现设b是G中的任一元素, 由于b=a * (a-1 * b), 所以b必定出现在对应于a的那一行中。对于列也可同样证明。 最后, 因为〈G, *〉中含有么元, 所以没有两行或两列是完全相同的。 综合以上结果便得出: 运算表中每一行都是G的元素的一个置换, 并且每一行都是不同的置换。同样的结论适合于列。证毕。 定理 6.2-5 如果, 〈G , *〉是一个群, 则对于任何a、b∈G, (a * b)-1 = b-1 * a-1 证 由于(a * b) * (a * b)-1= e和 (a * b) * (b-1 * a-1 ) = a * (b * b-1) * a-1 = a * a-1 = e 而逆元是唯一的, 所以(a * b)-1=b-1 * a-1。证毕。 由以上性质可得出以下结论。 (1) 一阶群仅有一个(同构的群认为是相同的, 以下不再说明), 如左下表所示。 (2) 二阶群仅有一个, 如下边中间的表所示。 (3) 三阶群仅一个, 如右下表所示。 (4) 四阶群仅有以下两个: （Klein四元群） (5) 五阶群仅有以下一个: ☆(6) 六阶群仅有以下两个: 　　从以上列出的群可知: 一阶群到五阶群全是阿贝尔群, 但六阶群不全是。 　　为了继续介绍群的性质, 我们首先定义群〈G, *〉的任意元素a的幂。 如果n∈N, 则 由以上定义可知, 对任意m、k∈I, am, ak都是有意义的, 另外群中结合律成立, 不难证明以下指数定律成立: (m、k∈I) (m、k∈I) 定义 6.2-2 设〈G , *〉是一个群, 且a∈G, 如果存在正整数n使an=e, 则称元素的阶是有限的, 最小的正整数n称为元素a的阶。 如果不存在这样的正整数n, 则称元素a具有无限阶。 显然, 群的么元e的阶是1。 定理 6.2-6 如果群〈G , *〉的元素a拥有一个有限阶n, 则ak=e, 当且仅当k是n的倍数。 ☆证 (充分性)设k、m、n是整数。如果k=mn, 则, ak = amn = (an)m = em = e （必要性）反之, 假定ak=e, 且k=mn+t, 0≤t＜n, 于是 at = ak-mn = ak * a-mn = e * e-m = e 由定义可知, n是使an=e的最小正整数, 而0≤t＜n, 所以t=0, 得k=mn。证毕。 这样, 如果an=e, 并且没有n的因子d(1＜d＜n)能使ad=e, 则n是元素a的阶。例如, 如果a8=e, 但a2≠e, a4≠e, 则8必定是a的阶。 定理 6.2-7 群中的任一元素和它的逆元具有同样的阶。 ☆ 证 设a∈G具有有限阶n, 即an=e, 因此 (a-1)n = a-1·n = (an)-1 = e-1 = e 如果(a-1)的阶是m, 则m≤n。 另一方面 am = ［(a-1)m］-1 = e-1 = e 因而n≤m, 故m=n。 定理 6.2-8 在有限群〈G , * 〉中, 每一个元素具有一有限阶, 且阶数至多是|G|。 ☆证 设a是〈G , * 〉中任一元素。在序列a, a2, a3, …, a|G|+1中至少有两元素是相等的。不妨设ar=as, 这里1≤s＜r≤|G|+1。 因为 e=a0=ar-r = a r * a -r = a r * a-s = ar-s 所以, a的阶数至多是r-s≤|G|。 证毕。 6.2.3 子群和群同态 将子代数的定义具体地应用于群, 就得到子群的定义。 定义 6.7-5