第三章控制基础_续4.ppt

第三章 控制基础(续) 问题： 系统是线性的,且性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数,则最优控制问题称为线性二次型问题。 一、线性二次型问题 性能指标各项含义： 3 积分项 二次型最优控制问题几种类型 2 输出调节器问题 3 输出跟踪系统问题 有限时间时变状态调节器 1 最优解的充分必要条件 定理： 上述问题最优控制的充分必要条件为 [证] 必要性： 若 为最优控制，则必为 因末态 自由，所以横截条件： 有： 与横截条件式比较有边界条件： 2 黎卡提方程解的若干性质 (2) P(t)是对称的 (3) P(t)是非负的 命题：对于性能指标 命题：若矩阵P(t)是黎卡提方程及其边界条件的唯一解，则 3 最优控制解的存在和唯一性 [例] 设系统状态方程为： [解] 时间有限状态调节器问题： 可得下列微分方程组及相应的边界条件： 几点说明： 最优控制律是一个线性（时变）状态反馈控制律，便于实现闭环最优控制 黎卡提方程为非线性矩阵微分方程，通常只能导出计算机逆时方向求数值解。黎卡提方程与状态控制变量无关，因而在定常系统情况下，可以离线算出。 只要时间区间 是有限的，黎卡提方程的解P(t)就是时变的，最优反馈系统将成为线性时变系统，即使矩阵A，B，Q和R都是常值矩阵，求出的P(t)仍然是时变的。 无限时间定常状态调节器 最优解结果 定理三 由定理二得到的最优闭环系统 因为Q≥0，R＞0，故有 几点说明： (1) { A，B}可控性要求，是为了保证最优解存在。有限时间调节器问题，对系统无可控性要求。 [解]：x1显然不可控 (2) 要求阵对{A,D}完全可观，是为了保证最优闭环系统渐进稳定性。如果 ，则可去掉{A,D}可观的要求。 (3) 无限时间状态调节器通常在性能指标中不考虑终点指标，即F=0。 [解]:无限时间状态调节器问题： 故有： 由 得代数方程组： 有限时间时变输出调节器 最优轨线 满足下列线性向量微分方程： 其中P(t)为对称非负定矩阵，是黎卡提矩阵微分方程 说明： 有限时间时变输出调节器与有限时间时变状态调节器的最优解具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在黎卡提方程及其边界条件的形式上有微小差别。 最优输出调节器的最优控制函数并不是输出向量Y(t)的线性函数，仍然是状态向量X(t)的线性函数。表明构成最优控制系统需要全部状态信息反馈。 无限时间定常输出调节器 为对称正定常值矩阵，满足黎卡提矩阵代数方程 最优闭环系统： [例]：设系统动态方程： 性能指标： 可以构造渐进稳定的最优输出调节器 确定最优控制： 有限时间时变输出跟踪系统 定理：设线性时变系统 1)最优控制： P(t)为n*n对称非负定实矩阵，是黎卡提矩阵微分方程： 2)最优性能指标： 其中函数 满足下列微分方程及边界条件： [证明]：构造哈密顿函数 由极值条件，在 不受约束时有： 其中P(t)及与Z(t)有关的g(t)待定 由假设求导得： 对于任何状态X(t)及任何理想输出Z(t)均成立，应使两端对应项相等，则有 令假设的 中的 有 将 代入状态方程得： 说明： 本定理黎卡提方程和边界条件与有限时间时变输出调节器的黎卡提方程和边界条件一致，表明最优输出跟踪系统与最优输出调节器具有相同的反馈结构，而与理想输出Z(t)无关。 最优输出跟踪系统和最优输出调节器闭环系统的特征值完全相等，区别仅在于跟踪系统中多了一个与伴随向量有关的输入项，形成了跟踪系统中的前馈控制项。 求解伴随向量g(t)需要理想输出Z(t)的全部信息，从而使输出跟踪系统最优控制 的现在值与理想输出Z(t)的将来值有关。（实际问题往往做不到）为了便于设计，往往假定Z(t)为典型的作用函数，如单位阶跃、斜坡等。 最优输出跟踪系统结构图如图： 无限时间定常输出跟踪系统 定理：设线性定常系统的动态方程为 式中 为正定对称常阵，满足黎卡提矩阵代数方程： 常值伴随向量： [例]设有一理想化轮船操纵系统，其从激励信号u(t)到实际航向y(t)的传递函数为 ，试设计近似最优激励信号 ，使性能指标 极小。式中 为理想输出 [解]：无限时间定常输出跟踪系统 3)解黎卡提方程 4)求伴随常向量： 6)检验闭环输出跟踪系统的稳定性 特征方程： 在边界条件 下的唯一解。 [证]： 将输出方程代入性能指标可得： 因 故有 于是，由有限时间时变状态