第四讲近代数学的兴起与解析几何诞生讲义.ppt

一、文艺复兴的前奏 大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（1160）、牛津大学（1167）——摇篮 文艺复兴运动——资产阶级文化的兴起 斐波那契（1170-1250），著作《算经》（《算盘书》） 内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；8—11章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题； 12、13章为求一次方程的整数解问题； 14章是求平方根、立方根的法则； 15章是几何度量及代数问题。 某人养了一对小兔子，假定每对兔子每月生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能生育，问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？ 自然现象中的裴波那契数： 向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。 菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似的情形。 一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字 电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列 欧洲数学真正的复苏,要到15-16世纪.在文艺复兴的高潮中,数学的发展与科学的革新紧密结合在一起,数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调.达?芬奇(1452-1519)就这样说过: “一个人若怀疑数学的极端可靠性就是陷入混乱,他永远不能平息诡辩科学中只会导致不断空谈的争辩.……因为人们的探讨不能称为科学的,除非通过数学上的说明和论证.”伽利略干脆认为宇宙“这本书是用数学的语言写成的”.科学中数学化趋势的增长促使数学本身走向繁荣. 二、近代数学的兴起 三次及以上的方程的根式解问题： 巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就象解化圆为方一样。 费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n（m,n0）的解法。 尼古拉·丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557），1535年宣布发现了三次方程的代数解法。 （一）代数学 1. 三次方程根式求解的成功 费罗 （1515年） x3+mx=n (m,n0) （二）代数符号体系与代数运算 韦达(F.Vieta):分析引论(1591) 近代数学的开始最重大的事莫过于符号代数的引进 韦达是第一个有意识地、系统地使用字母 对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿于1637年完成的,他用拉丁字母的前几个(a,b,c,…)表示已知量,后几个(x,y,z,…)表示未知量,成为今天的习惯. 另外,我们现在所使用的代数符号都是这一时期发明的,如“+” 、“-”来自于德国, “=”来自于英国. （三）三角学 航海、历法推算以及天文观测的需要,推动了三角学的发展.早期三角学总是与天文学密不可分的,这样在1450年以前,三角学主要是球面三角,后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角. 15、16世纪,德国人开始对三角学作出新的推进,他们从意大利获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识.游学意大利、后来定居维也纳的波伊尔巴赫(G.Peurbach,1423-1461,德国)曾经把托勒枚的《大汇编》译成拉丁文,并且编制了十分精确的正弦表. 在欧洲,第一部脱离天文学的三角学专著是波伊尔巴赫的学生雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436-1476)的《论各种三角形》.该书分五卷,前两卷论平面三角,后三卷论球面三角,给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理. 雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中,制定了多达五位的三角函数表,除正弦、余弦表外,还有正切表.在1450年以前,希腊、阿拉伯人著作中的三角方法很不严谨,雷格蒙塔努斯首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播. 三、从透视学到射影几何 布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) 论绘画 迪勒(A.Dürer, 1471-1528) 线面体的尺规测量法 英国画家柯尔比泰勒博士透视方法浅说(1754)卷首插图 出发点 透视画的天才阿尔贝蒂提出一个很重要的问题：如果眼睛和景物之间插立一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛出发射在景物上，那么这些光线形成投影锥，投影锥经过屏板上的点便形成截景，截景给眼睛的印象和物景本身一样。如果在眼睛与物景之间再插另一张屏板，那么两个截景都传达原来的形象，但它们具有何数学关系？ 德沙格的工作 德沙格（1591-1661），法国陆军军官，德沙格定理。德沙格发表了一本关于圆维曲线的很有独创性的小册子《试论锥面截一平面所得结果的初稿》 ，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、