第六章二次型与二次曲面讲义.ppt

第六章书面作业 P163~P164 3 11 4(1)(3) 12 6 16 9 17 10 21 点M(x,y,z)的坐标也满足方程x2+y2=R2， 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成 的曲面称为圆柱面。 过此点作平行 z 轴的直线 l，对任意 z ， 圆柱面上所有点的坐标都满足x2+y2=R2 (包括点M1和 直线 l )。 * * 例 方程 y2=2x 表示准线是xOy 平 面上的抛物线y2=2x， 母线平行于z轴的柱面——称为抛物柱面。 一般地，二元方程表示三维空间中的柱面。 平行于z 轴 在xOy平面 平行于x 轴 在yOz平面 在xOz平面 平行于y 轴 方程 母线 准线 图形 * 例 * 母线C 旋转轴 l 建立yOz平面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程： 给定yOz面上曲线 C： f (y,z)=0， 在曲面上任取一点M(x,y,z)， 当绕 z 轴旋转时,该点转到 M1(0,y1,z1) ∈C 此时有f (y1,z1)=0， * 又∵|O’M|=|O’M1|=|y1| 思考问题：当yOz平面上的曲线C绕y轴旋转时， 其方程如何？ * 旋转曲面方程的表达规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面上的一个坐标轴旋转时，只要将该坐标平面上曲线C的方程保留和旋转轴同名的坐标变量，而以其它两个坐标变量平方和的正负平方根来代替方程中的另一个坐标变量，即得该旋转曲面的方程 。 给定yOz面上曲线C：f (y,z)=0， 当y轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 当z轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 * 同理有 给定xOy平面上曲线C：f (x, y)=0， 当x轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 当y轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 * 给定xOz平面上曲线C：f (x, z)=0， 当x轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 当z轴是旋转轴时，旋转曲面方程为 例3.3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程。 解 在yOz面上直线L 的方程为 z=ycotα 绕z轴旋转时,圆锥面的方程为 * 令a=cotα 两边取平方 z2 = a2 ( x2 + y2 ) 定义：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得的旋转面称为圆锥面。两条直线的交点叫做圆锥面的顶点，两条直线的夹角α叫做圆锥面的半顶角(0α2/π) 。 例 求坐标面 xOz 上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋 转一周所生成的旋转曲面方程。 * 解 绕 x 轴旋转所成曲面方程为 绕 z 轴旋转所成曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面。 一. 空间曲线的一般方程 * 例 求在xOy 坐标平面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。 解 例 写出oz轴的方程。 解 oz轴可看成两个平面的交线，如 可见，空间曲线的一般式方程不是唯一的。 * 二. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数 t 的函数。 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点。方程组(1)叫做空间曲线的参数方程。 * 三. 空间曲线在坐标面上投影 以空间曲线C为准线, 母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面。 投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线，或简称投影。 设空间曲线C的一般方程 * 准线C 投影曲线(投影) 投影 柱面 由方程组(2)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (3) 方程(3)表示一个母线平行于z 轴的柱面，曲线C 一定在曲面上，所以(3)就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程。