第八章第9讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系概要.doc

第9讲　圆锥曲线的综合问题,[学生用书]) 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y整理得到关于x的方程ax＋bx＋c＝0.ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 一个交点 a≠0 Δ＞0 两个不相等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ＜0 无实数解 无交点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A两点(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－x＝＝－y＝[做一做]已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切则a等于(　　)　　　　　　　　 C. D．4 解析：选由消去y得ax－x＋1＝0所以解得a＝双曲线C：－＝1(a＞0＞0)的右焦点为F直线l过焦点F且斜率为k则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是(　　)＞－＜＞或k＜－－＜k＜解析：选由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜ 1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于(2)直线与抛物线交于一点时除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．点差法”求解弦中点问题的步骤— 　↓— 　↓— 　↓— [做一做]过点(0)作直线使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点这样的直线有(　　)条　　　　　　　　　条条 条解析：选结合图形分析可知(图略)满足题意的直线共有3条：直线x＝0过点(0)且平行于x轴的直线以及过点(0)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．椭圆＋y＝1的弦被点()平分则这条弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两个端点为A(x)，B(x2，y2)，则x＋x＝1＋y＝1.在椭圆上＋y＝1＋y＝1.＋(y＋y2)(y－y)＝0即＝－＝－即直线AB的斜率为－直线AB的方程为y－＝－(x－)即2x＋4y－3＝0.答案：2x＋4y－3＝0第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系 __直线与圆锥曲线的位置关系____________[学生用书] 　在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左焦点为F(－1)，且点P(0)在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l同时与椭圆C和抛物线C：y＝4x相切求直线l的方程．[解]　(1)因为椭圆C的左焦点为F(－1)， 所以c＝1.将点P(0)代入椭圆方程＋＝1得＝1即b＝1所以a＝b＋c＝2.所以椭圆C的方程为＋y＝1.(2)由题意可知直线l的斜率显然存在且不等于0设直线l的方程为y＝kx＋m由消去y并整理得(1＋2k)x2＋4kmx＋2m－2＝0.因为直线l与椭圆C相切所以＝16k－4(1＋2k)(2m2－2)＝0.整理得2k－m＋1＝0.①由消去y并整理得k＋(2km－4)x＋m＝0.因为直线l与抛物线C相切所以＝(2km－4)－4k＝0整理得km＝1.②综合①②解得或所以直线l的方程为y＝＋或y＝－－[规律方法]　直线与圆锥曲线位置关系的用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数可以研究直线与圆锥曲线的位置关系即用代数法研究几何问题这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题实际上是研究方程组解的个数问题．　　　1.已知中心在原点焦点在x轴上的椭圆C的离心率为其中一个顶点是抛物线x＝－4的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2)的直l与椭圆C在第一象限相切于点M求直线l的方程和点M的坐标．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(ab0)由题意得b＝又＝解得a＝2＝1故椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为过点P(2)的直线l与椭圆C在第一象限相切所以l的斜率存在故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.由得(3＋4k)x2－8k(2k－1)x＋16k－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆相切所以＝[－8k(2k－1)]－4(3＋4k)(16k2－16k－8)＝0.整理得32(6k＋3)＝0解得k＝－所以直线l的方y＝－(x－2)＋1＝－＋2.将k＝－代入①式可以解得M点的横坐标为1故切点M的坐标为　弦长问题　　　[学生用书] 　(2014·高考辽宁卷)圆x＋y＝4的切线与x轴正半轴轴正半轴围成一个三角形当该三角形面积最小时切点为P(如图)．(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P且与直线l：y＝x＋交于A两点．若△PAB的面积为2求C的标准方程．[解]　(1)设切点为P(x)(x00，y00)， 则切线斜率为－切线方程为y－y＝－(x－x)， 即x＋y＝4此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝·＝由x