第八章平面解析几何第八节曲线与方程(理)概要.ppt

一、曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是_____________； (2)以这个方程的解为坐标的点都_________． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． 3．列式——列出动点P所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程． 三、曲线的交点 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)曲线与曲线方程是相同的概念，轨迹与轨迹方程也是相同的概念．(　　) (2)如果曲线C的方程为f(x，y)＝0，则点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.(　　) (3)求轨迹方程的常用方法有直接法、待定系数法、定义法、代入法等．(　　) (4)求出方程后，判断方程所表示的曲线时，一定要考虑变量的限制条件．(　　) (5)求两曲线的交点坐标时，只需解由两曲线方程组成的方程组即可．(　　) [答案及提示] (1)×　曲线与曲线的方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念． (2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 5．(课本习题改编)已知△ABC的三边AB，BC，CA的长度成等差数列，且|AB|＞|CA|，点B，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，则动点A的轨迹方程为________． 3．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，试建立恰当的直角坐标系，动点P的轨迹方程为________． 直接法求轨迹方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，通常步骤为建系设点、列式、代换、化简这四个步骤．求出曲线的方程后还需注意检验方程与曲线上的点的对应关系，多余的点要去掉，漏掉的点要补上． [典例1] 一动圆M与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线． 解：如图，设动圆半径为R，两定圆 的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、 r2，将两圆方程分别配方，得 (x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100， 故O1(－3,0)，r1＝2；O2(3,0)，r2＝10. 当⊙M与⊙O1外切时，有|O1M|＝R＋2，① 当⊙M与⊙O2内切时，有|O2M|＝10－R，② 将①②两式的两边分别相加，得|O1M|＋|O2M|＝12. 又因为|O1O2|＝6，所以|O1M|＋|O2M|＞|O1O2|. 故动圆圆心M的轨迹是以O1(－3,0)、O2(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆． 1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，求出待定系数后得到曲线方程． 2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况，然后由条件求出相关系数即可． 1．已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点且与直线l1相切的动圆的圆心为点C，则动点C的轨迹方程为______． 解析：x2＝4y　由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2＝4y. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程； 1．代入法适用于条件中有两个动点，且已知一个动点(主动点)的轨迹而求另一个动点(被动点)轨迹的情况． 2．用代入点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线，求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题． 2．如图，在直角坐标系中，已知 △PAB的周长为8，且点A，B的坐标 分别为(－1,0)，(1,0)． (1)试求顶点P的轨迹C1的方程； 思想方法系列之(十三)　分类讨论思想在判断曲线类型中的应用 [思路点拨]　由条件得出曲线方程，然后根据λ的取值判断曲线类型． [题后总结]　由含参数的方程(二次)讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数的符号；二是二次项系数的大小，然后根据各种情况进行讨论． [针对训练] 设A是单位圆x2＋y2＝1上的