第二章随机变量的分布讲义.ppt

三、连续型随机变量的概率密度 证明 证明 标准化 (将一般正态分布化为标准正态分布） 例8 查附表二 查附表二 1 0.3413 0.1587 1 ~ 例9 例10 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X h) 0.01 或 P(X h) 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的 h. 因为X～N(170,62), 故 P(X h)= 0.99 查表得 (2.33)=0.99010.99 所以 ≧2.33, 即 h ≧ 170+13.98 184 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的 h . 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3, 3 ]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%。 当X～N(0,1)时， P{|X|≤1} = 2F (1) -1 = 0.6826 P{|X|≤2} = 2F (2) -1 = 0.9544 P{|X|≤3} = 2F (3) -1 = 0.9974 3s 原则 将上述结论推广到一般的正态分布, 时， 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 [m-3s, m+3s] 区间内。这在统计学上称作“3s原则”（三倍标准差原则）。 在工程应用中，通常认为P{|Y-m|≤3s}≈1, 忽略{|Y-m|3s}的值。 如在质量控制中，常用标准指标值m±3?作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。 标准正态分布的上 ? 分位点u? 设 X ~ N (0，1) ，0 ? 1，称满足 的点 u? 为X的上? 分位点。 常用的几个数据 u? ? 0.1 0.2 0.3 0.4 u1-?= -u? u1-? ? = -u? 标准正态分布的双侧分?位点u?/2 设 X ~ N (0，1) ，0 ? 1，称满足 的点 u?/2为X的双侧? 分位点。 u?/2 ?/2 0.1 0.2 0.3 0.4 ?/2 -u?/2 第二章 随机变量及其分布 §2.3 二元随机变量 一元随机变量及其分布 多元随机变量及其分布 由于从二元推广到多元一般无实质性的困难，我们重点讨论二元随机变量。 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。 在打靶时，命中点的位置由一对r.v（两个坐标）确定。 飞机的重心在空中的位置由三个r.v （三个坐标）确定等等。 (ξ,η) (X,Y,Z) 二元随机变量 定义 设随机试验E的样本空间中ω∈Ω。ξ= ξ(e)和η=η(e)是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的向量(ξ,η)，称为二元随机变（向）量。 二元随机变量(ξ,η)的性质不仅与ξ及η的性质有关，而且还依赖于ξ和η的相互关系，因此必须把(ξ,η)作为一个整体加以研究。 研究方法与一元类似，用分布函数、分布律、或概率密度来描述其统计规律。 X的分布函数 一元随机变量X 一、二元随机变量的分布函数 设(ξ,η) 是二元随机变量(ξ,η)， x, y?R 如果把 (ξ,η) 看成平面上随机点的坐标。 联合分布函数的几何意义 取定 x, y?R，F(x, y) 就是点 (ξ,η) 落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率。如右图。 由上面的几何解释,易见: 随机点(ξ,η)落在矩形区域: {x1 ξ ≤x2, y1 η ≤y2} 内的概率 P{x1 ξ ≤x2, y1 η ≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1) 说明 (x2, y1) x (x2, y2) (x1, y2) (x1, y1) 分布函数F(x, y)具有的基本性质 边缘分布函数 二维随机变量(ξ,η)作为一个整体, 具有分布函数F(x,y)。 其分量ξ和η也都是随机变量, 也有自己的分布函数, 将其分别记为Fξ (x), Fη (y)。依次称为二维随机变量(ξ,η) 关于ξ和关于η的边缘分布函数（Marginal distribution）。 Fξ(x)=P{ξ ≤x} =P{ξ ≤x, η +∞}=F(x,+∞) Fη (y)=P{η ≤y}=P{ξ +∞, η ≤y}=F(+∞,y) 若二元随机