第二章统计数据的描述讲义.ppt

三、方差和标准差 把握以下问题： 1、方差的概念； 2、总体方差和标准差； 3、样本方差和标准差； 4、总体方差公式的变形； 5、标准化值； 6、是非标志的标准差。 * 第二章 统计数据的描述 * 1、方差的概念 它是各变量值与其均值离差平方的平均数，是测度间隔（定距）、比率（定比）数据离散程度的最主要方法。 根据总体数据和样本数据计算方差在数学处理上略有不同。 * 第二章 统计数据的描述 * 2、总体方差和标准差 （1）设总体方差为σ2，对于未分组数据，方差计算公式为： 对于分组数据，公式为： * 第二章 统计数据的描述 * 2、总体方差和标准差 （2）方差的平方根即为标准差，其公式：未分组数据： 分组数据： * 第二章 统计数据的描述 * 2、总体方差和标准差 （3）标准差与方差相比：标准差有量纲，与变量值的计量单位相同，其实际意义比方差清楚，在实际应用中更多使用标准差。 看下例：根据表2-3中的数据，计算工人日加工零件数的标准差。 解：计算过程见表2-6。 * 第二章 统计数据的描述 * 表2-6 某车间30名工人日加工零件标准差计算表 按零件数 分组 组中值 （Xi） 频数 （Fi） 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 85 95 105 115 125 3 7 13 5 2 348.569 75.169 1.769 128.369 454.969 1045.707 526.183 22.997 641.845 909.938 合 计 － 30 － 3146.67 * 第二章 统计数据的描述 * 根据公式得： 结果表明，每个工人的日加工零件数与平均数比，平均相差10.24件。 * 第二章 统计数据的描述 * 3、样本方差和标准差 （1）样本方差公式 未分组数据 分组数据 注意： 样本方差用自由度n-1去除! * 第二章 统计数据的描述 * 3、样本方差和标准差 （2）样本标准差公式 未分组数据 分组数据 * 第二章 统计数据的描述 * 3、样本方差和标准差 （3）与总体方差的区别 总体方差用数据个数或总频数去除离差平方和，样本方差用样本数据个数或总频数减一去除离差平方和，即n-1称为自由度。 * 第二章 统计数据的描述 * n-1自由度 自由度指一组数据中可自由取值的个数。当样本数据为n，均值确定后只有n-1个数据可以自由取值。例如，有2、4、9三个数值，均值为5，此后只有两个值可以自由取值，比如前两个值为6、7，则第三个值只能是2。 样本方差用自由度去除，原因是抽样估计中用S2n-1估计σ2 ，是σ2的无偏估计量。 * 第二章 统计数据的描述 * 例子 用表2-6的数据计算样本标准差： 这与总体标准差的结果10.24件相差不大。当n很大时，样本方差与总体方差计算结果相差很小，可以用样本方差公式计算。 * 第二章 统计数据的描述 * 3、样本方差和标准差 （4）与平均差的区别 在数学处理上通过平方消去离差的正负号。便于数学处理。它根据全部数据计算，准确地反映数据的离散程度，在实际中广泛应用方差或标准差测度离散程度。 * 第二章 统计数据的描述 * 4、总体方差公式的变形 （2.13）公式的变形： * 第二章 统计数据的描述 * （2.13）公式的变形 * 第二章 统计数据的描述 * （2.14）式的变形 根据（2.21)、(2.22)式可以化简方差和标准差的计算。在实际计算时，可以用计算器求得。 * 第二章 统计数据的描述 * 5、标准化值 （1）根据均值和标准差可以计算一组数据中各个数值的标准化值，设标准化值为Z，则有： * 第二章 统计数据的描述 * 5、标准化值 （2）在对多个不同量纲的指标进行处理时，需要对各指标进行标准化处理。它又给出了一组数据中各数值的相对位置。如，标准化值为1.5，则该数据是在高于均值1.5倍标准差的位置，即 * 第二章 统计数据的描述 * 5、标准化值 对一组数据大约有68%的数据在 范围内，95%在 范围内，99%在 范围内，在此范围内几乎包括了全部数据，而 之外的数据，统计上称为离群点。 * 第二章 统计数据的描述 * 标准化值(用于数据变换) z值只是将原始数据进行了线性变换，并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1 * 第二章 统计数据的描述 * 6、是非标志的标准差 （1）是非标志的概念 在统计中，有时把现象的总体单位分成具有某一标志的单位和不具有某一标志的单位两组，这个标志是品质标志。如