泊松与拉普拉斯方程概要.ppt

* * 2.3.1 电位函数 一、电位函数与电位差 电位函数 1) 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； 2) “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 3) 在直角坐标系中 引入电位函数 ： 可由一标量函数表示。 关于电位函数的讨论 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算： 电位差（电压） 意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所作的功。 两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关 关于电位差的说明 电场空间中两点间电位差为： 空间中任意点间的电位为： 电位参考点 　显然，电位函数?不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即 　为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差) 两点间电位差有定值 1) 应使电位表达式有意义 2) 应使电位表达式最简单 3) 同一个问题只能有一个参考点 4) 电位参考点电位一般为0； 选择电位参考点的原则: 二、电位函数的求解 点电荷的电位 选取Q点为电位参考点，则 若电位参考点Q在无穷远处，即 则： 点电荷在空间中产生的电位 ? 说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点 体电荷： 面电荷： 线电荷： 式中： 说明：若参考点在无穷远处，则c=0。 引入电位函数的意义： 简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再 关系得到电场解。 分布电荷体系在空间中产生的电位 电势(电位）的计算方法: 1)利用点电荷的电势公式和叠加原理 2) 根据已知的场强分布,按定义来计算 电势的计算例题 例1. 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例2. 均匀带电球面的电势 例3.均匀带电球体的电势 例4. 电偶极子的电势 y dl R x o r x P 例1.半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布。带电量为q, p点离圆心距离为x. 而电荷元 则电荷线密度 其在p点产生的电势为 则 例2.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。 解：以O为圆心，取半径为L?L+dL的薄圆环， 到P点距离 P点电势： O L dL p x R 带电dq=?ds= ??2?L ?dL 由高斯定理知，电场分布为 R 解： 例3. 求一均匀带电球面内外的电势分布。 P . 1.当rR 时 3.电势分布 2.当r R 时 r . P r 电势分布曲线 场强分布曲线 E V R R r r O O 结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。 由高斯定理知，电场分布为 R 解： 例4. 求一均匀带电球体内外的电势分布。 P . 1.当rR 时 3.电势分布 2.当r R 时 r . P r 例5. 求一均匀带电同心球面的电势分布。半径为R1和R2,所带电荷为q1和q2。 o R2 R1 q1 q2 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 解：均匀带电球面的电势分布 无限长线电荷的电位 电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。选择有限远点Q作为参考点。 根据表达式最简单原则，选取r=1柱面为电位参考面，即 得： 无限长线电流在空间中产生的电位 ? 2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程 柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。 标量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 矢量场的拉普拉斯运算 在直角坐标系中： 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作： 式中： 称为拉普拉斯算符。 在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 一、静电场电位方程的建立 即： 电位的泊松方程 在无源区域， 电位的拉普拉斯方程 二、电位方程的应用 可用于求解静电场的边值问题。 ? ? 例. 同轴传输线的内导体半径 外导体半径 已知内导体的电位为U0，外导体接地。 试求同轴传输线内的电位和电场分布。 解：线内电位满足拉普拉斯方程 且边界条件： 根据方程有： 积分后有： 加入边界条件： 于是： 1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。 小结：求空间电场分布的方法 电偶极子是一种非常重要的物理模型 电偶极矩（电矩） (方向由负电荷指向正电荷)