第二讲非线性方程求根概要.ppt

* 第二章 方 程 求 根 主要内容 1.二分法 2.迭代法 3.牛顿法 4.割线法 2.1 引 言 一. 问题 代数方程 超越方程 对于超越方程，一般而言必须用数值方法求它的解。 求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。 单根与重根 关于代数方程，有代数学基本定理：n次代数方程有n个根（实根与复根）。现在理论上已证明，对于次数n=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数= 5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示。 常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。 求根方法中最直观最简单的区间方法是二分法。 二. 方法 2.2 二 分 法 一. 二分法的原理与步骤 二. 二分法的优缺点 二分法对函数要求不高，计算过程简单，程序容易 实现，可在大范围内求根。但该方法收敛较慢,且不能求 重根和复根。 解： - 1.3203 1.3281 1.3125 5 + 1.3281 1.3438 1.3125 4 + 1.3438 1.375 1.3125 3 - 1.3125 1.375 1.25 2 + 1.375 1.5 1.25 1 - 1.25 1.5 1.0 0 f(xn+1)的符号 Xn+1 bn an n 2.3 迭 代 法 一. 迭代法的基本思想 （1） （2） 构造递推公式 （3） （4） 迭代函数 迭代格式 迭代序列 迭代收敛 二. 迭代法的几何意义 上述两图均为迭代收敛的情况 上述两图为迭代发散的情况 从上面的图中可以看出，并不是每一个迭代都能够得到方程的根。 收敛充分性定理(一、1) 分别取如下三种不同的迭代函数 3.531 3.571 3 (3) 3.592 3.454 3.632 3.405 3.699 3.326 3.810 3.2 4 3 (2) -1 151 313 -1073 -33 7 3 (1) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 k 迭代法要考虑的问题：收敛性，收敛速度，误差估计 定理1. 三. 迭代法的收敛性 (全局收敛性) 证: 由条件(1) 由介值定理, 由 知 由微分中值定理 证毕. 问题：迭代过程何时停止？ 在事后估计法中，如果迭代次数超过预先指定的次数N，仍达不到精度要求，则认为方法发散。 事后估计法 事前估计法 因此迭代格式 收敛。 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位 解: 迭代函数采用如下构造形式 因此原方程的解为 x1 = 0.1000000 x5 = 0.0905265 x2 = 0.0894829 x6 = 0.0905250 x3 = 0.0906391 x7 = 0.0905251 x4 = 0.0905126 定理1给出的是迭代法 在区间[a,b]上的全局（整体）收敛性。下面讨论在不动点x*附近的收敛性问题，即局部收敛性。 定义1 设 在某区间I有不动点x*，若存在x*的一 个闭邻域 ，对任意的 迭代格式 产生的序列 均收敛于x*，则称 迭代法 局部收敛。 2.4 迭代法的收敛速度和加速收敛方法 一、迭代法的局部收敛性： 二、迭代法的收敛速度： 所谓收敛速度，是指在接近收敛时迭代误差的下降速度。 当p=1，迭代称为是线性收敛的， p1时为超线性收敛的， p=2时为平方收敛或二次收敛。显然，p越大，迭代收敛的速度越快。 定理3 对于迭代过程 如果迭代函数 在所求根 的邻近有连续的二阶导数，且 则有 （1）当 时，迭代过程为线性收敛； （2）当 时，迭代过程为平方收敛； 证明 故该迭代过程为线性收敛。 即迭代过程为平方收敛。 三、迭代法的加速 则有理由认为 是一个比 更好的近似值。 迭代 加速公式 上面的公式也可以看作由下面方法得到 取相应的迭代公式为 上式还可以写为 分别用迭代法和加速收敛的方法求方程 解: 在x=0.5附近的近似解,精确到小数点后3位 计算结果