24.1.2垂直于弦的直径.合编.ppt

学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。 学习难点：垂径定理及其推论。 自学指导 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看谁做得又对又快？ 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ 3、你知道解例2的每步依据吗？ 六、家庭作业 1、必做 p89页 2题 90页 9题 2、选作 p89页 1题 * 24.1.2 垂直于弦的直径 1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱． 学习目标 问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 一、 情境导入 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠. 二、 先学环节 教师释疑 观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO， O O 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE， 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 【证明猜想】 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！ 【定理辨析】 例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径. E O A B 【解析】根据题意得， AE=4 cm OE⊥AB OE=3 cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25， AO=5cm. 【例题】 变式1：AC，BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成立吗？ 变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB 变式4：______，AC=BD. OA=OB 变式5：______，AC=BD. OC=OD 【归纳】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径. M P B O 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线. 【解析】提示作OM 垂直于PB ，连接OA. 答案： A 【跟踪训练】 三、后教环节 突出重点 突破难点 画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论. 题设 结论 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ⑤直线CD平分 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 【推论1】 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？ 圆的两条平行弦所夹的弧相等. F O B A E C D 【推论2】 3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3. 又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= =3,∴OD=3-1=2, ∴OB= 【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6 4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为 5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的 长是 ． 2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE CE C．OE＝ D．∠AOC＝60° B 1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 D 四、当堂检测 巩固新知 2、已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点. 求证：AC＝BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE