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2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 例1.圆内的两条弦AB,CD交于圆内一点P,已知PA=PB=4.PC=PD,求 CD的长. 例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G.求证: (1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG 例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD.求证:PC=PD 探究1:AB是直径,CD⊥AB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系? PA·PB=PC·PD 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 A C B P D O A C B P D O A(C.P) B D 探究2:把两条相交弦的交点P从圆内运动到圆上.再到圆外,结论是否还能成立? PA·PB=PC·PD P在圆外:易证△PAD∽△PCB 故PA·PB=PC·PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA·PB=PC·PD A P C B D P A C A(B) P O D C PA·PB=PC·PD 探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立? A P B O D C A(B) P O D C 连接AC,AD易证△PAC∽△PDA 上式可变形为 PA2=PC·PD 3.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 故PA·PB=PC·PD仍成立 因为A,B重合, 探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论? A(B) P O D C 易证Rt△OAP≌Rt△OCP. PA=PC 4.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. A(B) P O C(D) PA2=PC·PD 思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试. A(B) P O C(D) E F 思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗? O C D A B P 解:设CD=x,则PD= ,PC= 由相交弦定理,得 PA?PB=PC?PD ∴4×4= ? 求得 x=10, ∴CD=10 A B C O F G E D 3 2 1 △DFE∽△EFA EF2=FA?FD 又GF2=FA?FD GF2= EF2 EF=FG P A B D C 析:PC2=PA?PB 又PD2=PA?PB PC2= PD2 PC=PD 例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C, 求证:AC?AD+BC?BE=AB2. A B D E C O F 分析:A,F,C.E四点共圆 BC?BE=BF?BA. F,B,D,C四点共圆 AC?AD=AF?AB. AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA =AB(AF+BF)=AB2 例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE. B A E C O D 问题1 由上述条件能推出哪些结论? 探究1: ∠ACD= ∠AEC △ADC∽△ ACE ⑴ CD?AE=AC?CE ⑵ 同理 BD?AE=AB?BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE?CD=BD?CE ⑷ 图⑴ 探究2: 猜想并可证明 问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些结论? B A E C O D 图⑴ B A E C O D F G 图⑵ △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷ 证明如下: B A E C O D F G 图⑵ ∵AB2=AD?AE,而AB=AC, ∴AC2=AD?AE,即 ∵∠CAD= ∠EAC, (对应边成比例且夹角相等). ∴ △ADC∽△ ACE ⑸ 另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆 ∴ ∠CFG= ∠AEC, 又∵∠ACF= ∠AEC, ∴ ∠CFG= ∠ACF, ∴ FG//AC ⑹ B A E C
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