第二章基本回归模型讲义.ppt

线性概率模型的估计和问题 第一个问题是线性概率模型存在异方差性。扰动项的方差是 ，这里 p 是因变量等于1的概率，此概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不是常数，导致异方差性。 第二个问题是扰动项不是正态分布的。事实上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。 第三个问题，它假定自变量与Y=1的概率之间存在线性关系，而此关系往往不是线性的。 第四个问题也是最严重的问题是，拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于[0,1]区间内。 回到有关读研的例子。假设学生乙的GPA为4.0，家庭收入为20万元，则代入前式，Y的拟合值为 从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设另有一个学生丙的为1.0，家庭收入为5万元，则其Y的拟合值为 -0.2，表明读研的概率为负数，这也是一个不可能的结果。 * 由于上述问题，考虑对线性概率模型进行一些变换，由此得到下面要讨论的模型。 假设有一个未被观察到的潜在变量yi*，它与xi之间具有线性关系，即 (2.8.7) 其中： ui*是扰动项。yi和yi*的关系如下： (2.8.8) * yi*大于临界值0时，yi =1； yi*小于等于0时，yi =0。这样 (2.8.9) 其中：F是ui*的分布函数，要求它是一个连续函数，并且是单调递增的。因此，原始的回归模型可以看成如下的一个回归模型： (2.8.10) 即yi关于它的条件均值的一个回归。 * 分布函数的类型决定了二元选择模型的类型，根据分布函数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择模型如下： 常用的二元选择模型 ui*对应的分布 分布函数F 相应的二元选择模型 标准正态分布 Probit 模型 逻辑分布 Logit 模型 极值分布 Extreme模型 2、Probit模型和Logit模型 虽然估计和使用线性概率模型很简单，但存在上面讨论的几个问题，其中最严重的两个问题是拟合值小于0或大于1的问题，假定自变量和Y=1的概率之间存在线性关系的假设不现实的问题。 使用更为复杂的二元选择模型可以克服这些缺陷。 本节要介绍的Probit模型和Logit模型就是这样的模型。 （一）Probit和Logit模型的设定 在二元选择模型中，首先要关心的是响应概率（response probability）。 这里我们用x表示全部解释变量和常数1构成的列向量，即， ，解释变量的第i个样本观测值用 表示。 在LPM模型中，我们假定响应概率是一组参数的线性函数。为了避免LPM模型的这一缺陷，考虑形如下式的一类二元选择模型： 其中F是一个取值严格位于0和1之间的函数，即 对于全部实数z成立。 下面要介绍是实践中应用最广泛的两个F函数。 在logit模型中，F是logistic函数： 此函数是标准logistic随机变量的累积分布函数。 在probit模型中，F是标准正态累积分布函数（cdf）： 是标准正态概率密度（pdf）， F的这两个选择都确保了对于所有参数和 的值，相应变量值严格位于0和1之间。 Logit和probit模型可由一个基础的潜变量模型(latent variable model)导出。设 是一个潜变量，由下式决定： 潜变量 是观测不到的，我们能够观测的是二值变量Y，如购买或不购买的决定，因此，观测值为： 我们假定 独立于x，且服从正态分布或logistic分布。这两种分布都是关于0对称的，因此对于所有实数z，应有 由 给定的假设，我们可导出Y 的响应概率： 由此我们不难写出Logit模型和probit模型如下： Probit模型： Logit模型： * 二元选择模型一般采用极大似然估计。似然函数为 (1.4.11) 即 (1.4