第二章-杆和梁结构的有限元法概要.ppt

单元有2个节点：i，j 局部坐标系下节点位移分量： 轴向位移： 横向挠度： 转角： 局部坐标系下节点力分量： 轴向力： 横向剪力： 弯矩： §2.3.2 平面内一般梁单元 单元描述： 二、局部坐标系下平面梁单元刚度方程 单元有6个位移分量 6个自由度 单元节点位移列阵： 单元节点力列阵： §2.3.2 平面内一般梁单元 单元描述： §2.3.2 平面内一般梁单元 建立单元特性方程 在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。 因此，组合变形下的平面梁单元刚度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程（相当于简单梁单元）叠加而成： §2.3.2 平面内一般梁单元 上面刚度方程简写为： 分块形式： 其中： 刚度矩阵一个子块： §2.3.2 平面内一般梁单元 三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换 局部坐标系下节点位移： 整体坐标系下节点位移： 节点位移矢量坐标变换： 考虑到节点转角 不变 简写 节点向量变换矩阵： §2.3.2 平面内一般梁单元 单元节点位移列阵的变换： 简写 单元坐标变换矩阵 单元节点力列阵的变换： 节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变换关系。 §2.3.2 平面内一般梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换： 将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程： §2.3.2 平面内一般梁单元 四、平面刚架的有限元整体分析 平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。 根据每个节点外载荷与结构的总节点力平衡得到系统的有限元平衡方程，再引入约束条件后求解。 总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到： 系统平衡方程： §2.3.3 三维空间梁单元简介 一、单元功能：模拟三维刚架 二、单元特性分析 基本思路与平面梁单元相同： 先在局部坐标系下建立单元特性方程，再变换到总体坐标系下。 局部坐标系下节点位移： 单元有12个自由度 总体坐标系下节点位移： §2.3.3 三维空间梁单元简介 局部坐标系下单元刚度矩阵 三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转变形的组合。 前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程： 由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的 刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。 §2.3.3 三维空间梁单元简介 把上述3类刚度矩阵拼装后可得到三维梁单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵： §2.3.3 三维空间梁单元简介 通过单元节点上位移矢量、转动矢量、节点力矢量、节点力矩矢量的三维坐标变换矩阵，导出总体坐标系下梁刚度矩阵。 原理与步骤同平面梁单元。 总体坐标系下三维梁单元刚度矩阵 小变形下节点线位移矢量和角位移矢量的变换： 其中： ——局部坐标系对总体坐标系 的方向余弦矩阵。 则单元节点位移列阵的变换为： 单元坐标 变换矩阵 单元刚度矩阵变换： 2.4 形成荷载列向量 2.5 形成方程组 2.6 施加约束 某个自由度被约束，则所对应的行除对角线元素外均为0，荷载向量对应元素为0. k(1,1)=1; k(1,2)=0; k(1,3)=0; k(1,4)=0; k(1,5)=0; k(1,6)=0; k(2,1)=0; k(2,2)=1; k(2,3)=0; k(2,4)=0; k(2,5)=0; k(2,6)=0; k(4,1)=0; k(4,2)=0; k(4,3)=0; k(4,4)=1; k(4,5)=0; k(4,6)=0; 2.6 解方程组 F=[0,0,0,0,10,0]; u=(k^-1)*F 2.6 求各单元的轴力 以单元2为例： u2=[u(3),u(4),u(5),u(6)]’ F2=k2*u2 N=N(4.2e5,6*1.414,135,u2) -10 10 10 -10 平面内一般梁单元 简单梁单元 （弯曲变形） 三维空间梁单元简介 2.3.1 2.3.2 2.3.3 结构总刚度矩阵及其性质 梁单元的单元特性 梁单元的单元刚度矩阵 离散结构的整体分析 平面刚架的整体分析 单元与节点 局部坐标系下的平面梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换 三维空间梁单元刚度矩阵 2.3 梁单元和平面刚架 §2.3.1 简单梁单元 一、离散化，节点位移与节点载荷 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，