信号与系统第2章讲述.ppt

　　按上述步骤求解的卷积积分结果如图2.5所示。  　　(1) 当－∞＜t≤ 时， 如图2.5(a)所示， 两者的卷积为 f1(t)*f2(t)=0 (2) 当 ≤t≤1时， 如图2.5(b)所示， f1(t)和f2(t)之积在该区间之外为零， 故 　　(3) 当1≤t≤　　时， 如图2.5(c)所示， 注意到该例中f2(t)取非零值的区间宽度为2， 两者之积只在区间 时得非零值， 所以有 (4) 当　　≤t≤3时， f1(t)和f2(t)取非零值的公共区间为［t-2, 1］, 如图2.5(d)所示, 故 (5) 当3≤t＜∞时, 如图2.5(e)所示, 故 f1(t)*f2(t)=0 图 2.5　卷积积分的图解法过程 　　图2.5所示各图中的阴影面积, 即为相乘积分的结果。 图2.6给出了卷积f1(t)*f2(t) 的函数图像。 从上述图解分析中可以看出, 卷积中积分限的确定取决于两个图形交叠部分的范围。 卷积结果所 占的时宽等于两个函数各自时宽的总和。 图 2.6　图2.4的卷积结果 2.5　卷 积 的 性 质 作为一种数学运算, 卷积运算具有一些基本性质, 利用这些性质一方面可以简化卷积运算, 另一方面这些性质在信号与系统分析中具有很重要的作用。  2.5.1　卷积的代数运算 　　1. 交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 　　　(2.38) 　　证明: 将积分变量τ变换为t－λ, 得 　 　2. 分配律 f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.39) 　　证明: 　 　分配律用于系统的分析中, 相当于并联系统的冲激响应, 等于并联系统中各子系统的冲激响应之和, 如图2.7(a)所示, 其等效的单个系统如图2.7(b)所示。  图 2.7　并联系统的h(t)=h1(t)+h2(t) 　　3. 结合律 ［f1(t)*f2(t)］*f3(t)=f1(t)*［f2(t)*f3(t)］　　　(2.40) 　　证明: 　　结合律用于系统的分析中, 相当于串联系统的冲激响应, 等于组成串联系统的各子系统的冲激响应的卷积, 如图2.8(a)所示, 其等效的单个系统如图2.8(b)所示。  图 2.8　串联系统的h(t)=h1(t)*h2(t) 　　4. 时移特性 　　若 f1(t)*f2(t)=f(t) 则 f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2)　　　　　　(2.41) 　　证明: 令τ-t1=x, 则 2.5.2　卷积的微分与积分 　　1. 卷积的微分特性 　　两个函数卷积后的导数等于其中一函数的导数与另一个函数的卷积, 即 (2.42) 　　证明: (2.43)  同理可以证明 (2.44) 　　2. 卷积的积分特性 (2.45) 　　 　　 证明: (2.46) 同理可以证明  　　应用类似的推导可以导出卷积的高阶导数和多重积分的运算规律。  　　设f(t)=f1(t)*f2(t), 则有 (2.47) 这里, 当i、 j取正数时为导数的阶数, 取负数时为重积分的次数。 如 (2.48) 2.5.3　函数与冲激函数的卷积 一个函数f(t)与单位冲激函数δ (t)的卷积仍是这个函数f(t)本身, 即 (2.49) 这里运用了δ (t)为偶函数的性质。 　　另外, 利用卷积的微分、 积分特性, 还可以得到以下结论: 　　(1) 对冲激偶函数δ′(t), 有 f(t)*δ′(t)=f′(t)　　　　　(2.50) 　　(2) 推广到一般情况, 有 f(t)*δ (k) (t)=f (k) (t)　　　　(2.51) 　　(3) 对单位阶跃函数, 有 　(2.52) 2.5.4　卷积的时移性质 　　任意函数f(t)与时移后的冲激函数δ (t－t0)的卷积, 其结果等于函数f(t)本身的时移, 即 f(t)*δ (t－t0)=f(t－t0) (2.53) 　　推广到一般情况, 有 f(t)*δ (k) (t－t0)=f (k)(t－t0) (2.54) 　　卷积的时移性质还可以进一步延伸, 如 f1(t-t1)*δ (t-t2)=f(t-t1-t2) (2.55) 　　例2.12　已知f(t)和