大学物理6刚体力学讲解.ppt

(3) 它与刚体的质量和质量分布有关. (4) 它符合加法结合律和交换律——和的转动惯量等于转动惯量的和. (5) 转动惯量的平行轴定律: (6) 规则形状刚体相对于对称轴的转动惯量可直接计算求得, 其它不规则刚体的转动惯量一般由实验测定. d m I Ic 4. 转动惯量的计算 x dx x o (1) 垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量. 已知: 棒长 l , 总质量 m . 设棒的线密度为 则有 (2) 均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量. 已知: 半径 R, 总质量 m . dm R (3) 空心圆柱绕其对称轴的转动惯量. 已知: 内半径 R1, 外半径 R2 , 高 l , 总质量 m . r dr R1 R2 o l 该式同样适用于薄圆盘 设其密度为 在半径为 r 处, 取厚度为 dr 的薄层为质量元 (4) 均匀球体绕其对称轴的转动惯量. 已知: 球的半径为 R , 质量 m . 方法1: 取距球心为 x 处, 厚度为dx、半径为 r 的薄圆盘为质量元 设其质量密度为 圆盘半径 体积元 质量元 此圆盘的转动惯量 dx x R r 薄圆盘的转动惯量 那么, 球体的转动惯量为 方法2: 在球坐标系中取体体积元 质量元 故球的转动惯量为 转动惯量计算的一般步骤: 质量密度为 取体积元 则质量元 直角坐标系 球坐标系 转动惯量 常见规则刚体的转动惯量 薄圆盘 R1 R2 l 圆柱 细棒 细棒 球体 例1. 求半经为 R 、质量为 m 的均匀圆环, 对于沿直径转轴的转动惯量 解: 圆环的线密度为 在环上取长度元 dS, 相应的质量元 dm , dm 距转轴 r, 则 例4. 在半径分别为 R1 和 R2 的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳, 分别悬挂质量为m1、m2的物体. 如滑轮与轴间摩擦不计, 滑轮转动惯量为I. 求滑轮的角加速度 β 及两绳中的张力T1与T2. y 解: 取向下为坐标轴的正方向, 相应地顺时针转向亦为正方向. 隔离体受力分析如图. 由牛顿定律和转动定律列方程如下 且线量与角量之间的关系式为 y 联立求解得: 例5. 物体 A、B 的质量分别为 m1和 m2 , 用一轻绳相连, 绳子跨过质量为 M、半径为 R 的匀质定滑轮 C. 如A下降, B 与水平桌面间的滑动摩擦系数为 μ , 且绳与滑轮之间无相对滑动, 求系统的加速度及绳中的张力 T1 和 T2 . y x 解: 建立如图坐标系, 并取顺时针转向为正方向. 隔离物体受力分析如下图. 由牛顿定律和转动定律列出动力学方程: 整理以上方程有: 又由运动之间的联系可得: 联立解得: §5.5 角动量定理与 角动量守恒定律 由转动定律有: 令 , 称为刚体对该转轴的角动量或动量矩. * * 第5章 刚体力学初步 前4章给出了质点运动状态变化的有关规律. 本章介绍具有一定形状和大小物体的机械运动规律. 既然任何物体都可看成是由大量质点组成的, 那么前面的理论在本章中依然有效. §5.1 刚体运动学 §5.2 刚体平动动力学 §5.3 质心与质心运动定律 §5.4 刚体绕定轴的转动 §5.5 角动量定理与 角动量守恒定律 §5.6 定轴转动的动能定理 与机械能守恒定律 1. 刚体 物理模型: 物体在运动和相互作用过程中, 其大小和形状都不发生任何变化. 推论: 刚体内任意两点间的距离不变. 2. 刚体的运动 §5.1 刚体运动学 刚体的一般运动=平动+定轴转动 平动: 在运动过程中, 通过刚体内任一条直线的方位始终保持不变. 特点: 刚体平动时, 内部各点运动情况完全相同. 因此, 描述质点运动的物理量(如位移、速度和加速度)均可用来描述刚体的运动. 刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动. 转动: 刚体运动时, 各个质点都绕同一直线(转动轴)作同角速度的圆周运动. 定轴转动: 转轴固定不动的转动. 质心轴: 通过质心的转轴. 特点: 定轴转动时, 刚体转轴上各点保持不动. 轴外各点在同一时间间隔 dt 内, 移动的弧长虽然不同, 但其角位移 d? 却完全一样. 因此, 描述刚体的定轴转动可引入新的物理量, 如角位移、角速度和角加速度. 3. 描述刚体转动的物理量 角位移: 在时间间隔 ?t 内, 刚体上任一点相对于某一特定转轴转过的角度为??. z ?? x o 特征: (1)角位移 ?? 是相对于某一特定转轴而言的. (2)角位移 ?? 不是矢量, 它的合成与转动的先后次序有关, 不符合矢量的加法交换律. x y z x y z x y z x y z x y z x y z 角位移不是矢量 (3) 瞬时角位移 d? 符合矢量运算法则, 为矢量. d?