复变函数第3讲讲解.ppt

复变函数第3讲 §5 复变函数 1. 复变函数的定义 定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作 w=f(z) 在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数. 例如, 考察函数 w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2-y2, v=2xy 2. 映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象. 设函数w=z, 设函数w=z2, 由于函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1)因此, 它把z平面上的两族分别以直线y=?x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 x2-y2=c1, 2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1, v=c2, 函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1)如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数),直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2, v=2ly,消去参数y得直角坐标方程为 v2=4l2(l2-u)同理可得直线y=m的象的方程为 v2=4m2(m2+u) 假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知, 对任意的w?G*, 有 w=f[j(w)],当反函数为单值函数时, 也有 z=j[f(z)], z?G 今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的. §6 复变函数的极限和连续性 1.函数的极限定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e0, 相应地必有一正数d(e)(0d??), 使得当0|z-z0|d时有 |f(z)-A|e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作 或记作当z?z0时, f(z)?A 这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时, 它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中. 应当注意, z趋向于z0的方式是任意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A. 极限示意 定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0, 则 证 必要性: 充分性: 定理二 例 证明函数 当z?0时的极限不存在[证] 令z=x+iy, 则 此题也可以用另一种方法证明, 令z=r(cosq+isinq), 则 2. 函数的连续性定义 则说f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处处连续, 我们说f(z)在D内连续. 定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续. 例如, 函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续, 因为u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的, 而v=x2-y2是处处连续的. 定理四 1) 在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分母在z0不为零)在z0处连续;2)如果函数h=g(z)在z0处连续, 函数w=f(h)在h0=g(z0)连续, 则复合函数w=f[g(z)]在z0处连续.