机器人原理与应用3讲解.ppt

* The End of Chapter 3 * * * 对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系 其中， 是 p 点相对于B系的位置矢量。 至此，我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示方法，这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。在后续章节中会频繁地用到。 再由式(rp ) ，可得复合变换 可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B系保持一致。根据式（Ｒ）可得由H系到过渡坐标系C的坐标变换为 其中， 是点P 在C中的位置矢量。 (rp ) c r 例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的yA轴移动5个单位。求位置矢量 和旋转矩阵 。若 ,求 。 解： 所以有： 最后得： * 3.4 齐次坐标变换 3.4.1 齐次坐标的定义和性质 3.4.1.1 齐次坐标的概念 　　用四个数所组成的列向量 来表示三维空间中的一点 ，这两个坐标向量之间的关系是: ， ， 则 称为三维空间点 的齐次坐标。通常情况下取w=1,则 的齐次坐标表示为 。 一般说来，以（N+1)维矢量来表示N维位置矢量，称为齐次坐标表示法。 * 3.4.1.2 齐次坐标的性质 （1）齐次坐标的不唯一性 所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点，不是单值确定的。例如 是某点的齐次坐标，则 也是该点的齐次坐标。? （2）齐次坐标的原点和坐标轴 根据齐次坐标的定义，齐次坐标 表示坐标原点，而 ， ， 分别表示OX轴、OY轴和OZ轴的无穷远点，即表示直角坐标的OX轴、OY轴和OZ轴。 * = 常量标量 设 则有 其中， （Ａ） * 3.4.2 齐次变换和齐次矩阵 在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了 的结论，它表示了 由到 的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式： * A矩阵称为齐次矩阵（Homogeneous matrix）,在机器人学中是个重要的术语，它将转动和移动组合在一个4×4矩阵中。 其中 为3×3的转动矩阵， 为1×3的零阵 ， 为表示移动的3×1的列阵。接下来我们将利用齐次矩阵来表示物体的运动。 式中 旋转矩阵３×３　　平移矢量３×１ 透视变量１×３　　比例因子１×１ 齐次矩阵＝ 齐次矩阵用途很广，更一般形式为： * 3.4.2.1 利用齐次矩阵表示平移变换 设向量 ， 要和向量 相加得V，即 （Ｂ） 欲求一变换矩阵H，使得U经过H变换之后变成向量V，即 （Ｃ） 考虑到式（Ｃ）和式（Ｂ）等效，根据式（Ａ）可知 平移变换就是用于两个向量的相加。 * 此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元素后不会改变这个变换。 由此可知得 * 3.4.2.2 利用齐次矩阵表示旋转变换 根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴旋转一个角度的相应旋转变换是 纯旋转的齐次变换矩阵中P3×1为零矩阵，即 ，因此写出绕x，y和z轴旋转θ角的基本齐次变换矩阵为： 纯平移