《步步高学案导学设计》2013.2014学年高中数学人教B版选修2.2反证法.docVIP

2.2.2　反证法 一、基础过关 1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　) ①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾 A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(　　) A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都是奇数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 3．有下列叙述： ①“ab”的反面是“ab”； ②“x＝y”的反面是“xy或xy”； ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”； ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”． 其中正确的叙述有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为(　　) A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都不是偶数 C．a，b，c中至多一个是偶数 D．至多有两个偶数 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________． 7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为__________________． 二、能力提升 8．已知x10，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　) A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1 B．存在正整数n，使xn＝xn＋1 C．存在正整数n，使xn≥xn＋1 D．存在正整数n，使xn≤xn＋1 9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________． 11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1， 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于. 三、探究与拓展 13．已知函数f(x)＝ax＋ (a1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根． 1．D2．D　3．B　4．B　5．B　6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 7．a，b不全为0 8．D9．C10．a≤－2或a≥－1 11．证明　假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 12．证明　假设三个式子同时大于， 即(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a， 三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c，① 又因为0a1， 所以0a(1－a)≤()2＝. 同理0b(1－b)≤， 0c(1－c)≤， 所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 13．证明　假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x00，且f(x0)＝0. ∴ax0＋＝0ax0＝－. ∵a1，∴0ax01，∴0－1. 解上述不等式，得x02.这与假设x00矛盾． 故方程f(x)＝0没有负数根．