2014高考数学二轮复习名师知识点总结：函数与方程思想（www.ks5u.com2014高考.doc

函数与方程思想 1． 函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等． (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 2． 和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式． (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要． (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解． (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 类型一　函数与方程思想在数列中的应用 例1　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列． (1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an； (2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝eq \f(1,Sn＋1)＋eq \f(1,Sn＋2)＋…＋eq \f(1,S2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值． 解　(1)因为a1＝2，aeq \o\al(2,3)＝a2·(a4＋1)， 又因为{an}是正项等差数列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n. (2)因为Sn＝n(n＋1)， bn＝eq \f(1,Sn＋1)＋eq \f(1,Sn＋2)＋…＋eq \f(1,S2n) ＝eq \f(1,?n＋1??n＋2?)＋eq \f(1,?n＋2??n＋3?)＋…＋eq \f(1,2n?2n＋1?) ＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋2)－eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(1,2n＋1) ＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(n,2n2＋3n＋1)＝eq \f(1,2n＋\f(1,n)＋3)， 令f(x)＝2x＋eq \f(1,x)(x≥1)， 则f′(x)＝2－eq \f(1,x2)，当x≥1时，f′(x)0恒成立， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3， 即当n＝1时，(bn)max＝eq \f(1,6)， 要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立， 则须使k≥(bn)max＝eq \f(1,6)， 所以实数k的最小值为eq \f(1,6). (1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解． 已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144. (1)求数列{an}的通项an； (2)设数列{bn}的通项bn＝eq \f(1,anan＋1)，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m恒成立，求m的最大值． 解　(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144， ∴S10＝145，∴S10＝eq \f(10?a1＋a10?,2)， ∴a10＝28，∴公差d＝3. ∴an＝3n－2(n∈N*)． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,?3n－2??3n＋1?) ＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3n－2)－\f(1,3n＋1)))， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n＋1)))， ∴Sn＝eq \f(n,3n＋1). ∵Sn＋1－Sn＝eq \f(n＋1,3n＋4)－eq \f(n,3n＋1)＝eq \f(1,?3n＋4??3n＋1?)0， ∴数列{