《数学物理方程-福州大学-江飞》3.1建立方程、定解条件.pptVIP

* * * * * * * 第三章 调和方程 §1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用 §3 格林函数 §4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 1. 方程的导出 §1 建立方程、定解条件 薄膜振动方程 如果上述方程与时间无关，则 或 称为2D泊松方程。类似我们有3D泊松方程 而称 为调和方程或拉普拉斯方程，简记为 注 也可看成是热方程的稳态解！ 注 2D情况与解析复变函数相关! （1）引力位势 其位势函数（相差一个常数下唯一） 利用万有引力公式，可得引力场函数（引力常数取1） 与引力场函数存在关系 单位质点 单位质点 引力位势 令物体在区域 上的密度函数为 ，则该物体在点 上的总位势为 单位质点 可直接验证 （积分控制收敛定理） 并且若 满足Holder条件 （可在椭圆方程位势理论C-Z定理中找到相关更一般结果） （2）静电场的电位势 由静电学中高斯定理得 电荷密度 电场强度 利用分部积分公式可得 也可利用静电场证明 电荷密度 电场强度 *引力位势 电场强度与密度关系 利用库仑定律，静电势是有势的，故存在静电位势 代入（1）式，可得 特别 （1） 注 引力是吸引力，同种电荷相互作用是排斥力。故在泊松方程里相差一个负号。 *定义 满足调和方程的经典解称之为调和函数。 2. 定解条件和定解问题 (1)第一边值问题（狄利克雷问题） (2)第二边值问题（诺伊曼问题） (3)第三边值问题（混合边值问题） (4) 狄利克雷外问题 (i) 注 没有(i)条件外问题可能不唯一，例子如下： 显然满足下列问题 (5) 诺依曼外问题 *物理背景 如果流场是有势的，不可压缩的，那存在速度势 满足 ，其中 表示流动液体的速度。由于在边界绕流故 即 注 对于2D外问题，无穷处趋于零换成在无穷远处有界即可，即存在常数 与 ，使当 时 成立。 注 对于泊松方程边值问题，可通过泊松方程的特解转化成调和方程边值问题。比如： 特别如果 满足Holder条件，这种特解很容易找到。 如果能找到 满足 则 满足 3. 变分原理（类比于寻找函数极值点） * 最小总位能原理：边界固定的薄膜，在一切可能的 位移中，真实位移使总位能达到最小。 * 物理和力学中有关能量极大或极小定律。 用 表示在 处薄膜的垂直位移， 表示垂直外力的密度。记薄膜在水平面 上的投影区域为 ，它具有光滑边界 ，则在外力 作用下薄膜的总位能为（根据第一章（6.7）式） 以 表示总位能，不计一个常数因子，它可写为 其中 因为薄膜的边界固定，“一切可能的位移”就是指所有具有一定的光滑性，且在边界上等于零的位移函数。例如，按式 给定函数集合 ，则一切可能的位移可取为集合 中元素的全体。这样，最小总位能原理可以用如下的数学形式表述：若 为真实位移，则 ，且满足 泛函 泛函的极小值点 （1） （2） 定理1.1（变分原理）如果满足（2）的函数 存在，它必满足（1）。反之，若 是定解问题（2）属于 的解，则必为变分问题（1）的解。 其中 为任一实数。显然有 ，且 证明 若 是变分问题（1）的解，任取 ，令 （1） （2） 由于 在 取到最小值，应有 即 （1） （2） 利用高维分部积分公式 故 （1） （2） 由此可知 （3） 从而与（3）式矛盾。因此，在中必有 事实上，若 在 中某点 不等于0，不失一般性，设 ， 则由 的连续性知，必存在 的一个邻域， 在此邻域内 成立。这样， 取为在 点 附近大于0，而在其外等于0，就有 又由 ，因此 ，即为问题（2）的解。 变分学基本原理 （1） （2） 反之，若 是泊松方程定解问题（2）的解，则对 中的任一给定的 ，成立 再次利用高维分部积分公式 （1） （2） 弱解形式 任给 ，令 ，就有 （4） 利用（4）式即得 且等号仅当 时成立。 故 也是变分问题（1）的解！ 等价问题 变分法小结（相关介绍可查阅百度百科）： *变分法原理提供了研究PDE边值问题的一个全新观点与新途径。 类比求函数极值点： 欧拉-拉格朗日方程 能量泛量极值点 原函数极值点 寻找驻点 p.77:1.6.9. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *