《数学物理方程-福州大学-江飞》3.3格林函数.pptVIP

3D解的表达式 下面证明极限函数 在区域 中也是调和函数。 在此球上，每个调和函数均可用泊松公式表为 为此，任取一点 ，以 为球心作一球 ， 因为函数序列 一致收敛于 。 故在上式取 得 即知 是球内的调和函数，定理证毕。 设 是 上的一个单调 定理3.2（哈纳克第二定理） 不减的调和函数序列，若它在 内的某一点 收敛，则它在 中处处收敛于一个调和函数 ，并且这种收敛在 的任一闭子区域上是一致的。 证 *首先证明：记 是以 点为球心， 为半径 中的任意一点， 都收敛。 的任意闭球，则对于 注意到区域 是开集，则 因此 存在 以 点为球心、半径为 的球 满足 由泊松公式，成立 设 是 中的任一点，对 中的任意调和函数 ， 因此，若 ，则 利用调和函数的平均值公式，上式即为（哈纳克不等式） 注意到 由于 故 即 则 对于给定的调和函数序列 ，记 利用哈纳克不等式 注意到 的收敛性，即 限制 即 则 综上即知 故 在 上一致收敛，则由哈纳克第一定理知 在 上一致收敛收于一个调和函数 。 对这些球逐一运用上述推理，即得： 对任一点 ，可以用完全落在 中的折线 连接 和 ，而 可以用 有限个完全落在 中的闭球覆盖（球心可在折线上）。 在 点收敛，从而在 内处处收敛一个调和函数 。 设 是 中任一有界闭集，由有限覆盖定理，存在有限个完全落在 中的闭球 覆盖 。因 在 中处处收敛，特别在每个闭球 的球心 处收敛，从而 在 上一致收敛。注意到闭球的个数有限，故 在 上也一致收敛。 定理3.3 设 为区域 中的非负调和函数，则对 中的任一有界闭子区域 ，存在仅与 有关的正常数，使得 证 记 与 的边界 的距离为 。 有不等式 由有限覆盖定理， 可由 个半径 为 的开球覆盖。对 即 由哈纳克不等式可得，对于任一用于覆盖 的半径为 的球中的任意两点 , ，成立 由于 在 上的最大点与最小点必分别落在某个半径为 的覆盖球中，取 ，即得 定理3.4（可去奇点定理） 设 在点 的邻域中除点 外是调和函数，在 点附近成立 其中 表示 点和 点的距离，则 总可以重新定义函数 在点 的值， 使 在整个所考虑的点 的邻域中 （包括 本身在内）是调和函数。 证 为简单起见，不妨取 点为坐标原点。 由泊松公式知，存在 满足 下面证明 。 这样我们可定义 则重新定义的函数 就在点的邻域中调和。 下面证明 。 记 则 作函数 满足 （1） 使得 及正数 ，注意到（1），故总存在充分 小的 故 由极值原理（定理2.3）知 从而 由 的任意性，即知 故 即 这就完成了可去奇点定理的证明。 推论 如果 确实是调和函数 的孤立点（即是 不可除去的奇点），那么 在 点附近趋于无穷大的阶数不会低于 定理3.4（可去奇点定理） 设 在点 的邻域中除点 外是调和函数，在 点附近成立 使 在整个所考虑的点 的邻域中 则总可以重新定义函数 在点 的值， 是调和函数。（2D情况见习题7） 不妨设 就是坐标原点（可通过平移变换实现）。 由于 定理3.5*（调和函数的解析性定理） 设 是区域 中的调和函数，那么它在 中是关于自变量 的解析函数，也就是说在 中任一点 的附近，它都可以展开成 的幂级数。 证 利用泊松公式 利用二项式定理可以将上式右端展开为 的幂级数。当 在球面上，而 在原点附近时这幂级数是一致收敛的，因此可以逐项积分，而且积分后仍得到一个关于 为一致收敛的幂级数，因此 在 处是解析的。由点 的任意性知道 在 内处处解析。定理证毕。 多元函数幂级数 p.94:1.8.9(1).10 * * * * * * * 1. 格林函数及其性质 §3 格林函数 *引入格林函数动机 回顾调和函数的积分公式 其中 自然期望利用该公式