《数学物理方程-福州大学-江飞》4.1二阶线性方程的分类.pptVIP

* * * * * * * * * * * §1 二阶线性方程的分类 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 §3 三类方程的比较 1. 两个自变量的方程 §1 二阶线性方程的分类 记一般的二阶线性方程（仅含两个自变量）为 其中 及 都是变量 的实函数，并假定它们适当光滑。 方程（A） 方程（B） 可逆的自变量变换 *类比二次曲线理论 双曲方程 抛物方程 椭圆方程 方程（A） 方程（B） 可逆的自变量变换 例子 直线、点… 2.两个自变量的二阶线性方程的化简 作自变量变换 设 由隐函数存在定理，上述变换在 是可逆的。 利用上述变换可将（1）式变成 （1） 其中 由于 （1） 以相应地决定。 及 也可 故 （1） 假如 存在两个线性无关的解 则我们可使 对此可转化成微分方程在 平面上的积分曲线问题 （1） 设 为了得到（3）的特征线，对此拆解成两个方程 （3） 是（3）的一族积分曲线（特征线）， 则 就是（2）的解：因为沿得积分微分 （2） 利用（3），即可得 满足（2）。 两族不同的实曲线，分别记为 （1） 在点 的附近 （3） 故（3）有 假设 关于 偏导数均不为零，则变换 是可逆变换：因为 注意到 从而 因此选取上述变换，可将原方程化成 特别 ，故可进一步化成 引入变换 则进一步化成 是可逆变换。 （2） 在点 的附近 并且 不全为零。 此时 化成 故特征曲线只有一族， 记为 选取 由于 因此 同时为零。任选与函数 无关的函数 则原方程可化成如下形式 注意到 故可进一步化成 引入变换 则进一步化成 实的特征线，方程（3）的通积分只能是复函数，设其一个通积分形如 （3） 在点 的附近 此时不存在 （4） （3） 即满足 并且 不能同 同时为零， 其中 为实函数。 则 则上述两函数是线性无关的。事实上，因 为了避免引入复函数，作变换 （4） （3） 则分离实部与虚部，有 特别 注意： 不能时为零。 矛盾 从而知 是函数无关的且是可逆变换。 这就说原方程可以化成 由于 满足 ，代入可得 化成下列三种类型方程： 可通过可逆变换 小结 令 类比二次型曲线理论， 双曲曲线方程； 抛物曲线方程； 椭圆曲线方程。 通过变量替换（或坐标变换）化成下列三种类型方程： 假如 若方程（1）中二阶偏导数项的系数在点 满足 *定义 （1） 则称方程在该点为双曲型的； 若在该点满足 则称方程在该点为抛物型的； 若在该点满足 则称方程在该点为椭圆型的。 （1） 双曲型； 抛物型； 注 如 点为抛物点，则找不到一个邻域，使方程在这邻域内是抛物型的。而对于双曲与椭圆情况是可以找到的。 椭圆型的。 注 上述定义可以推广到整个区域情况 注 波动方程是双曲型的，热方程是抛物型的，调和方程是椭圆型的。其所描述的物理现象也是本质不同。 注 混合型的：如特里科米方程 在上半平面 是椭圆型，在下半平面是双曲型的。 令 4 例 则上述方程化为标准型 则原方程可化为 例1 弦振动方程 为了求解，我们采用另一种变换方法。 首先原方程的特征方程为 对应的特征线为 及 作变换 4.例 例2 特里科米方程 原方程的特征方程为 作变换 则有 在椭圆型区域 内，它化为 故通积分为 例2 特里科米方程 原方程的特征方程为 作变换 则有 在双曲型区域 内，特征方程为 故通积分为 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *