《数学物理方程-福州大学-江飞》数学物理方程A答案.docVIP

一、（每小题8分，共32分）复变函数论 （1）已知解析函数的实部，并且，求该解析函数。 解：由C-R条件知：，，(2分) . 由凑微分法可得：, (2分) . (2分) . (2分) （2）在的邻域上将函数展成洛朗级数。 解： , (4分) (2分) , . (2分) 福州大学 2012～2013学年第 二 学期考试A卷答案 （3）利用留数定理方法计算实变函数积分：。 解：由留数数定理方法知： . (2分) 又 (2分) 且， (2分) . (2分) （4）已知函数，将作为参数，为复变数，请用柯西公式 及积分变量替换法，计算推导公式：。 解：由柯西公式知(2分) ，则 (2分) (2分) . (2分) 第二部分 数学物理方程 二、（每小题13分，共26分）用分离变量法求解下列两个定解问题： （1） 解： 上述问题的解的表达式为：， (2分) 代入泛定方程可得：. (2分) 其解为：, (2分) . , ； (3分) 又，. (3分) 综上即知： . (1分) 2） 解：上述问题的解的表达式为： . (2分) 代入泛定方程可得：， (2分) 其解为. (2分) 由边值条件,可得, 从而. 　　　 (2分) ， (4分) . (1分) 三、（12分）用球函数法求解下列问题： 其中未知函数且其定义域为。 解：由于，故上述问题的解的表达式为： . 　　 (2分) 代入边值条件可得：， (2分) (2分) (2分) ， (2分) . (1分) (2分) 四、（10分）请利用格林函数法推导下列定解问题的积分形式的解： 其中未知函数，其定义域为。 解：圆的第一边值问题的格林函数： ， 　　 (2分) 由电像位置关系。由几何关系得： ， (2分) 代入可得： . (2分) 　　　 ， (2分) 代入解的积分公式有： 。 (2分) 五、（10分）已知波动方程的柯西问题 (1) 的解为：。请利用该公式（也称达朗贝尔公式）进一步形式推导出下列问题的解的表达式： 解：令，则满足 . 　　 　　　　　 　　(2分) 由冲量法知，，其中满足 (2分) 令，则满足 . (2分) 由达朗贝尔公式可得：， 即 (3分) 综上即知： (1分) 六、（10分）请利用傅里叶变换及积分公式 （其中和是实数，），形式上推导下列问题解的积分公式： 该数学模型可用于近似刻画无限长细管中的扩散现象，请根据其解的积分公式说明下为何上述模型不是扩散现象的真实模型。 解：对上述两个等式进行傅里叶变换，并利用傅里叶变换求导性质可得： (2分) 其中.解之得：.(2分) 对上式进行傅里叶逆变换，可得 　　　 ， . (2分) 　 (2分) 取，则，其中.这说明如果初始时刻物质都集中在处，则在以后任何时刻任何位置都有物质分布，这意味着物质扩散速度是无限的，这与实际情况不相符。（2分,注意取法并不唯一，比如也可如下构造： 显然，此时.）