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作 业
第一章 波动方程 p. ８:1. 2. 4.
§1 方程的导出、定解条件
1. 细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，
u(x,t) x t
以 表示静止时在 点处的点在时刻 离开原来位
置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试
证明 u(x,t) 满足方程
? ? ?u ? ? ? ?u ?
? x E
? ? ? ? ? ?
?t ? ?t ? ?x ? ?x ?
? x E
其中 ? ? 为杆的密度， 为杨氏模量。
证 在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x
x ??x t
与 。现在计算这段杆在时刻 的相对伸长。在时
t
刻 这段杆两端的坐标分别为：
x ?u (x,t );x ??x ?u (x ??x,t )
? ?? x ?u ? ? ?E ?u ? 胡克定律 E (F / S ) / (??L / L)
? ? ? ? ? ?
?t ? ?t ? ?x ? ?x ? 协强 协变
t
静止 运动 时刻
x ??x ?u (x ??x,t )
0 x x ??x 0
x x ?u (x,t ) x
该段杆的相对伸长等于
[x ??x ?u (x ??x ,t )]?[x ?u (x ,t )]??x
u (x ????x,t).
?x x
?x ?0 x u (x,t)
令 , 取极限得在点 的相对伸长为 x 。
由虎克定律，张力T ( x, t) 等于 T(x, t) E(x)u (x, t),
x
E (x ) x
其中 是在点 的杨氏模量。
运动 时刻：
t T( x, t) E( x)u ( x, t)
质点x x
T ( x, t) T ( x ??x, t)
0
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