12讲可测函数的质与逼近定理.pptVIP

第12讲 可测函数的性质与逼近定理 目的：熟练掌握可测函数的性质，理解Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。 重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证明。 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 基本内容： 一．可测函数的性质（续） （1）??? 可测函数乘积的性质 问题1：如何将集合E{x|f(x)g(x)α}用形如E{x|f(x)α}、E{x|g(x)α}、E{x|f(x)≥α}、E{x|g(x)≥α}的集合表示？ 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 性质3 若 都是E上的可测函数则 在E上乎处处有意义 时， 在E上可测。 (iii) 证明 (iii)。令 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 则 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 显然E1,E2都是可测集。在E1，E2上都可测。由性质2，只需证明 在E1，E2 上都可测。注意到在E3上， 都有意义，从而可测，于是由(i),(ii)知 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 是可测集,进而 都可测,这说明 也是E3上的可测函数。 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 （2）??? 可测函数商的可测性 问题2：可否直接应用乘积的可测性证明商的可测性？ 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 性质3 若 都是E上的可测函数则 当 在E上几乎处处有意义时， 在E上可测。 (iv) 证明（iv）。由（iii），仅需证明 是可测函数就可以了。 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 对任意 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 由 可测性立得 可测，即 是E上的可测函数，证毕。 （3）??? 可测函数序列的上、下极限之可测性 问题3：假设h(x)=limfn(x),如何用形如E{x|fn(x)α}、E{x|fn(x)≥α}的集合表示集合E{x|h(x)α}? 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列的极限是否是可测函数？到目前为止，至少有三种意义下的极限概念，其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”（即在给定的集上逐点收敛），其三是“几乎处处收敛”（即在给定的集上，除去一个零测 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 集后逐点收敛）。显然，如果我们证明了一个几乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数，则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此，先证明一个引理。 引理1 假设 是上的可测函数序列，则 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 都是上的可测函数。 都是上的可测函数。 证明：对任意实数 ，显然有 故由 的可测性立知f可测。而 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 所以 也是上的可测函数，记 则由（i）知 都是上的可测函数， 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 由此立得 ， 都可测。证毕。 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 （4）??? 几乎处处收敛与几乎处处相等 定义3 设 是E上的函数列， 是E上的函数，若存在 ，使 且对任意 ，有 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 ，则称在上几乎处处收敛到f，记作 性质4 如果 是E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到 ，即 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 则 在E上可测。 证明：由于 几乎处处收敛到 ，故存在零测集 ，使得 在 上处处收敛到 ,由引理1知 是 上的可测函数，从而也是E上的可测函数。证毕。 我们已经看到，任何非负可测函数都可以 第12讲 可测函数的性质与逼近定理 让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一般的可测函数情形如何呢？为此，我们可以将上可测函数分成正部和负部如下： 显然 第12讲