14课二次函数及其图象.pptVIP

知能迁移4　(2011·桂林)已知二次函数y＝－ x2＋ x的图象如图． (1)求它的对称轴与x轴交点D的坐标； (2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析式； (3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由． (1)由y＝－ x2＋ x得 x＝－ ＝3，∴D(3,0)． 解 (2)如图1, 设平移后的抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋k， 则C(0,k)，OC＝k. 令y＝0，即－ x2＋ x＋k＝0， 得 x1＝3＋ ，x2＝3－ ， ∴A(3－ ,0)，B(3＋ ,0)． ∴AB2＝[(3＋ －(3－ )]2＝16k＋36， AC2＋BC2＝[k2＋(3－ )2]＋[k2＋(3＋ )2] ＝2k2＋8k＋36. ∵AC2＋BC2＝AB2， 即2k2＋8k＋36＝16k＋36，得 k1＝4，k2＝0(舍去)． ∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋4. 图1 (3)如图2, 由抛物线的解析式y＝－ x2＋ x＋4可得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,4) ，M (3， )． 过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H， 则MH＝3. CM2＝MH2＋CH2＝32＋( －4)2＝ . 在Rt△COD中，CD＝ ＝5＝AD. ∵点C在⊙D上， ∴DM2＝( )2＝ ， ∴CD2＋CM2＝52＋ ＝ ， ∴DM2＝CM2＋CD2. ∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM. ∴直线CM与⊙D相切． 图2 6．二次函数错例分析 考题再现　 1．用配方法求二次函数y＝ x2－ x＋ 图象的顶点坐标及对称轴． 2．已知函数y＝3x2－4x＋1，当0≤x≤4时，求y的变化范围． 学生作答　 1．解：y＝ x2－ x＋ ＝ (x2－4x＋3)＝ (x－2)2－1 ∴该函数图象的顶点坐标是(2,－1)，对称轴是直线x＝2. 2．解：当x＝0时，y＝3x2－4x＋1＝3×02－4×0＋1＝1； 当x＝4时，y＝3×42－4×4＋1＝33. ∴当0≤x≤4时，y的变化范围是1≤y≤33. 易错警示 规范解答　 1．解：y＝ x2－ x＋ ＝ (x2－4x＋3) ＝ [(x－2)2－1]＝ (x－2)2－ ∴该函数图象的顶点坐标是(2,－ )，对称轴是直线x＝2. 2．解: ∵y＝3x2－4x＋1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝－ ＝ . ∴当x＝ ，y最小值＝－ . 当x＝0时，y＝1；当x＝4时，y＝33. 于是当0≤x≤时，－ ≤y≤1， 当 ≤x≤4时，－ ≤y≤33， 综上，当0≤x≤4时，－ ≤y≤33. 老师忠告　 1．配方法是重要的数学方法，必须熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c可配方写成y＝a(x＋m)2＋k，后者图象的顶点坐标是(－m,k)，对称轴是直线x＝－m，须牢记． 2．求二次函数值的范围，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值或最小值的条件． 当a0时，函数图象开口向上，当x＝－ 时，函数有最小值y＝ ；当a0时，函数图象开口向下，当x＝－ 时，函数有最大值y＝ .当涉及到实际问题时，一定要符合实际问题的意义和条件要求. 方法与技巧 1. 对于二次函数的解析式，要根据不同条件选用不同形式的解析式： (1)已知图象上三点，选一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)已知顶点或对称轴，选顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)已知图象