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第21讲 Fubini定理 目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。 重点与难点：Fubini定理及其证明。 三．Ln×Lm与 Ln+m的关系 问题5：Ln×Lm中的集合与 Ln+m中 的集合差别有多大？ * * 第21讲 Fubini定理 基本内容： 同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等，以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对被积函数加上较强的条件，本节将会看到，Lebesgue积分中对此类问题所要求的条件也比Riemann积分弱得多。 第21讲 Fubini定理 一．可测矩形的截口 问题1：回忆微积分中如何化重积分 为累次积分？什么样的积分 区域可以使重积分化成累次 积分？ 第21讲 Fubini定理 问题2：在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，应 首先考虑什么问题？ 第21讲 Fubini定理 本质上讲 作为乘积空间 中的集合是比较简单的，它有点象平面内的矩形。这样的集合有一个特点，对任意 是 在 中的一个平移，它们到 中的点 x，对应的集合 对不同的 x 可能差别很大。 第21讲 Fubini定理 这就象平面内两条曲线 在区间 [a,b] 之间围成的图形，对任意 或 一般是 不一样的，所以对可测集 的可测性不是显而易见的。 第21讲 Fubini定理 为使问题的解决更方便些，我们采用略为抽象的形式来叙述。 记 分别为 及 中的Lebesgue可测集类，则它们都是 -域。定义 为包含所有的可测矩形的 的最小的 -域，则有 第21讲 Fubini定理 引理1： 。换言之， 中集均为 中的Lebesgue可测集。 证明：由于 是 域，且每个可测 矩形都在 中，故显然有 证毕。 第21讲 Fubini定理 引理2 中的任意Borel集在 中。 证明：注意到 中的每个长方体显然在 中，而开集可以表成可数个左开右 闭的长方体之并，因此，开集也在 中，由 是 域及Borel集的定义立知每个Borel集都在 中。证毕。 第21讲 Fubini定理 定理2 对任意 存在 使 且 。 证明：取 中的Borel集 ，使 ，取Borel集 ，使 ，则由引理2知 证毕。 第21讲 Fubini定理 定义1 设 记 称 为 E 在 x0 处的 x-截口， 为 E 在 y0 处的 y-截口。 第21讲 Fubini定理 问题3：对Rn+m中任一可测集，其 截口是否均可测？为什么？ 第21讲 Fubini定理 定理3 若 ，则对任意 ， ，都有 ， 。 证明：设 L 是所有 中满足 (任意 )， (任意 ) 集合 E 的全体。如果 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， 。故 。 第21讲 Fubini定理 不难证明下列命题都是正确的： (i) 。 (ii) 若 ，则 ， ，因此 。 (iii) 若 且 ， 则