3章向量与线方程组.pptVIP

第3章 向量与线性方程组 3-3 向量组的秩 3-3 定义1：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价． 3-3 例2 ， ， 因此 线性相关． 而其部分组 线性无关，故 是向量组 3-3 注： 例2说明一个向量组的极大线性无关组不一定是惟一的． 但是一个向量组的极大线性无关组所包含的向量个数是惟一的． 三、内容小结 3-3 思考：上三角形矩阵 的列向量组是 Rn 的一个最大无关组吗？ * * 第3章 向量与线性方程组 3-1 向量组的线性组合 3-3向量组的秩 3-2向量组的线性相关性 3-5 线性方程组 3-4向量空间 一、 极大线性无关组 二、向量组的秩与矩阵秩的关系 三、内容小结 一、 极大线性无关组 例1 向量组 与向量组 等价 3-3 定义2：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,ar，满足 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组． 最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA ． 的一个极大线性无关组． 可验证 也是向量组 的一个极大线性无关组． 例3 求矩阵 的秩，并求A 最高阶非零子式． 3-3 二、向量组的秩与矩阵秩的关系 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 3-3 第二步求 A 的最高阶非零子式． 选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在列 与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列． 3-3 R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式 因此这就是 A 的一个最高阶非零子式． 结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的． 3-3 事实上， 根据 R(A0) = 3 可知： A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组． 在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据 R(A) = 3 可知：A中所有4 阶子式都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这 4 个列向量线性相关．A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组． 矩阵 A 的列向量组的秩等于 3． 同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3． 3-3 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩． 今后，向量组 a1, a2, …, am 的秩也记作 R(a1,a2, …, am ) ． 若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的． 3-3 例4 已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性． 3-3 解： 可见 R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关， 同时， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关， 从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组． 3-3 最大无关组的意义 结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表． 凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去． 3-3 例5 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩． 解 n 阶单位矩阵 的列向量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ． 3-3 3-3 极大线性